Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
- b -f kn для некоторого целого числа k.
Легко проверяется, что сравнимость по модулю п является |Отношением
эквивалентности на множестве % целых чисел.
| Рефлексивность и симметричность его очевидны. Транзитивность
%
&•: •
16
Гл. 1. Алгебраические основы
тоже проверяется несложно: если а = Ъ + кп н Ь = с + In
для некоторых целых чисел к и I, то а = с + {к + I) п, так что
нз а = Ъ (mod п) и b ее с (mod п) следует а = с (mod п).
Рассмотрим теперь классы эквивалентности, на которые отношение
сравнимости по модулю п разбивает множество % (они называются классами
вычетов по модулю п). Ими являются множества
[0] = {..., -2п, -п, 0, п, 2п, ...|,
[1] - {¦ ¦ *" -2л ~f~ 1, -п -f- 1, 1, п ~f~ 1, 2 n "f~ 1, • ¦ •},
[n - i ] == {..., -n - 1, - 1, n - 1, 2n - I, 3n - I, ...}.
Мы можем определить на множестве j[01, [11,..., [п-1 1[ классов вычетов
по модулю п некоторую бинарную операцию (которую мы снова обозначим
знаком г, хотя она, конечно, не является обычным сложением), положив
[а ] ~f~ [b 1 - \а ~Ь b 1, (11)
где а и b - произвольные элементы соответствующих классов [а] и [&], а
сумма а + Ь справа является обычной суммой чисел а и Ь. Для того чтобы
показать, что мы действительно определили некоторую операцию, т. е. что
наше определение корректно, мы должны проверить, что класс вычетов [а] +
[Ь] однозначно определяется классами [а! и [6] и не зависит от выбора их
представителен а и Ь. Доказательство этого мы оставляем читателю в
качестве упражнения. Ассоциативность операции (1.1) следует нз
ассоциативности обычного сложения. Единичным элементом является [01, а
обратным элементом для [а] будет [-а). Итак, множество элементов {[01,
[I], [п- I]} образует группу относительно операции + .
1.5. Определение. Группа, образованная множеством {[01, [I 1, [п - 11}
классов вычетов по модулю п с операцией (1.1), называется группой классов
вычетов по модулю п и обозначается %п.
Группа %п является циклической группой с образующим элементом [11, и эта
группа имеет порядок п в соответствии со следующим определением.
1.0. Определение. Группа называется конечной (соответственно
бесконечной), если она состоит из конечного (соответственно бесконечного)
числа элементов. Число элементов конечной группы называется ее порядком.
Для порядка конечной группы G будем использовать обозначение |G|.
Существует удобный способ задания конечной группы - в виде таблицы. Эта
таблица, представляющая групповую операцию (она обычно называется
таблицей групповой операции
§ 1. Группы
17
или таблицей Кэли группы), строится так: ее строки и столбцы помечаются
элементами группы и на пересечении строки, помеченной элементом а, и
столбца, помеченного элементом Ь, ставится элемент аЬ.
1.7. Пример. Таблица Кэли группы Ze имеет вид
юз Ш [23 [3 3 [43 [5]
юз Ю] [13 [23 [3] [43 [5]
пз [1] [23 [3 3 [43 [53 [0]
[2 3 [21 ЮЗ [4 3 [53 юз [13
юз [3] [43 [53 ЮЗ ЕП [2 3
[43 [43 [53 ЮЗ [1) [23 [33
[5] [5] ЮЗ [13 [2] [33 [43
Каждая группа содержит некоторые подмножества, которые сами образуют
группу при той же групповой операции. Например, таким свойством обладает
подмножество {[01, [2], [4]} группы Ze.
1.8. Определение. Подмножество И группы G называется подгруппой этой
группы, если Н само образует группу относительно операции группы G.
Подгруппы группы G, отличные от тривиальных подгрупп {е[ и G, называется
ее собственными подгруппами.
Легко проверяется, что множество всех степеней произвольного элемента а
группы G образует подгруппу этой группы.
1.9. Определение. Подгруппа группы G, состоящая из всех степеней элемента
а этой группы, называется подгруппой, порожденной элементом а, и
обозначается символом (а). Эта подгруппа, очевидно, циклическая. Если (а)
- конечная подгруппа, то ее порядок называется порядком элемента а. В
противном случае а называется элементом бесконечного порядка.
Таким образом, порядок элемента а равен наименьшему натуральному числу k,
такому, что ak = е. Нетрудно показать, что любое целое число т,
обладающее тем свойством, что ат - е, делится на k. Если S - некоторое
непустое подмножество группы G, то подгруппа И группы G, состоящая из
всех конечных произведений степеней элементов из S, называется
подгруппой, порожденной множеством 5, и обозначается символом (S), а 5
называется множеством образующих подгруппы И.
Для аддитивной группы % целых чисел понятие сравнимости по модулю п (где
п - натуральное число) тесно связано с подгруппой (я), порожденной
элементом я, так как
а = b (mod п) •<=> а - b ? (п}.
18
Гл, I. Алгебраические основы
Таким образом, подгруппа {п} определяет отношение эквивалентности на
множестве %. Эту ситуацию можно обобщить следующим образом.
1.10. Теорема. Если И - подгруппа группы G, то отношение RH на G,
определяемое условием
{(а, b) ? RH а = bh для некоторого h ? Я, является отношением
эквивалентности.
Доказательство тривиально. Соответствующие отношению RH классы
эквивалентности называются левыми смежными классами группы G по подгруппе
