Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 3

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 371 >> Следующая

этот обзор в предисловии необязательно. Поскольку данная монография
является частью энциклопедической серии, мы стремились дать как можно
больше информации ггрн заданном объеме, а это, в частности, привело к
исключению некоторых громоздких доказательств. Чтобы не усложнять
основной текст, мы вынесли библиографические ссылки в комментарии в конце
каждой главы. Эти комментарии, кроме того, снабжают читателя обзором
литературы и сводкой дальнейших результатов. В конце книги собрана
воедино вся литература, которая упоминалась в комментариях.
Для повышения привлекательности данной монографии как учебного пособия мы
поместили в подходящих местах текста разобранные примеры и снабдили
каждую главу (кроме последней) списком упражнений. Упражнения эти весьма
разнятся по сложности - от обычных задач до самостоятельных доказательств
ключевых теорем. Они включают также материал, не охваченный основным
текстом.
Что касается перекрестных ссылок, то мы перенумеровали все отдельные
пункты основного текста последовательно по главам - независимо от того,
определения ли это, теоремы, примеры и т. п. Таким образом, например,
"определение 2.41" отсылает к п. 41 гл. 2 (который оказывается
определением), а "замечание 6.28" отсылает к п. 28 гл. 6 (который
оказывается замечанием). Аналогично "упражнение 5.31" отсылает к списку
упражнений к гл. 5.
Нам доставляет огромное удовольствие выразить благодарность профессору
Джану-Карло Роте за то, что он предложил нам написать эту книгу, н за его
терпение в ожидании результатов наших усилий. Мы признательны -за помощь
госпоже Мелании Бартои, которая с большой тщательностью и умением
отпечатала нашу рукопись, и, наконец, мы благодарим весь персонал
издательства Addison-Wesley за высокий профессионализм при создании этой
книги.
Р. Л ид л, Г. Нидеррайтер
Глава 1 Алгебраические основы
Эта вводная глава содержит обзор некоторых основных алгебраических
понятий, которые используются в книге. В элементарной алгебре применение
арифметических операций (например, сложения и умножения) с заменой
конкретных чисел символами обеспечивает возможность получения формул,
которые прн подстановке чисел вместо символов дают решение частных
числовых задач. В современной алгебре уровень абстракции возрастает: от
обычных операций над действительными числами переходят к общим операциям
- процессам образования в некотором множестве общего вида из двух или
более данных элементов некоторого нового элемента. При этом ставится цель
изучить общие свойства всевозможных систем, состоящих из множества и
некоторого числа заданных на нем и определенным образом взаимодействующих
операций, например множества с двумя бинарными операциями,
взаимодействующими подобно сложению и умножению действительных чисел.
Мы рассмотрим лишь самые основные определения и свойства алгебраических
систем (т. е. множеств с одной или несколькими операциями на ннх),
сознательно ограничив себя тем минимумом теории, который необходим для
нашей основной цели - изучения конечных полей. При этом некоторые
стандартные результаты мы сообщим без доказательства. В вопросе о
множествах мы принимаем наивную точку зрения. Будем использовать
следующие числовые множества: IN - множество натуральных, Z - целых, Q -
рациональных, R - действительных и С - комплексных чисел.
§ 1. Группы
Известны две операции на множестве % целых чисел - сложение и умножение.
Обобщим понятие операции на произвольное множество.
Пусть S - некоторое множество, и пусть S X S обозначает множество
упорядоченных пар (s, t), где s ? S, t ? S. Тогда произвольное
отображение из S X S в S мы будем называть (бинарной) операцией на
множестве S. В этом определении мы
§ 1. Группы
13
требуем, чтобы образ каждой пары (s, t) ? S X S был непременно элементом
множества S - это так называемое свойство замкнутости операции. Под
алгебраической системой или алгебраической структурой мы будем понимать
некоторое множество 5 с одной или несколькими операциями на нем.
В элементарной арифметике мы имеем дело с двумя операциями - сложением и
умножением, важным свойством которых является ассоциативность. Среди
всевозможных алгебраических систем, имеющих одну ассоциативную операцию,
самыми изученными и развитыми являются группы. Теория групп - один из
старейших разделов абстрактной алгебры, который к тому же особенно богат
приложениями.
1.1. Определение. Группой (G, *) называется некоторое множество G с
бинарной операцией * на нем, для которых выполняются следующие три
условия:
1. Операция * ассоциативна, т. е. для любых а, Ь, с С О
а * (Ь + с) = (а * Ь) * с.
2. В G существует единичный элемент (или единица) е, такой, что для
любого а б: G
а* е = е # а - а.
3. Для каждого а С G существует обратный элемент а~г С G, такой, что
а * дг1 = а"1 * а - е.
Если группа удовлетворяет также следующему условию:
4. Для любых а, Ь С G
а * b -= b * а,
то она называется абелевой (или коммутативной).
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed