Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
изоморфизмом, и в таком случае говорят, что группы G и И изоморфны.
Изоморфизм группы G на G называется автоморфизмом этой группы.
В качестве примера рассмотрим отображение / аддитивной группы Z целых
чисел на группу Zn классов вычетов по модулю л, определяемое условием f
(а) = [а]. Тогда
f (a -f- b) = la + Ь ] - [а) f lb) - f (a) -f- f (b)
для a, b ? Z,
так что f-гомоморфизм (точнее, эпиморфизм).
Если /: G ->¦ Я - гомоморфизм не - единичный элемент группы G, то из ее -
е следует / (ё) f {е) - f (е), так что f (е) = - е* - единичный элемент
группы Я. Из равенства аа~г - е получаем / (а-1) = (/ (я))-1 для всех а ?
G.
Автоморфизмы группы G представляют особый интерес, в частности, потому,
что они сами образуют группу относительно обычной композиции1)
отображений (это проверяется без труда). Важными примерами автоморфизмов
группы G являются ее внутренние автоморфизмы. Внутренний автоморфизм fa
определяется для фиксированного элемента а группы G условием fa (b) -
aba~x для всех b ? G. Очевидно, что fa - автоморфизм группы G, и все
внутренние автоморфизмы группы G получаются, когда а пробегает все
элементы группы G. Элементы b и aba*1 называются сопряженными, и если S -
непустое подмножество
1) Композицией отображений ф: В -* С и ф: А -+ В называется отображение /
: А -*¦ С (обозначаемое / (tm) ф * ф), которое определяется условием f (а) -
(tm) Ф (ф (л)) для любого с ( G. - Прим, мрев.
§ I, Группы
21
в G, то множество aSa"1 - {osa-1 | s ? S\ называется сопряженным с S.
Таким образом, сопряженными с S множествами в группе G оказываются образы
множества S при всевозможных внутренних автоморфизмах группы G и только
они.
1Л7, Определение. Ядром гомоморфизма /; G И группы G в группу И
называется множество
Кег / - \а ? G \ / (а) - е'\, где е* - единичный элемент группы Н.
IЛ 8. Пример. Для гомоморфизма / : Z Znt определенного условием /(а) =
[а], ядро Кег / состоит из всех а ^ Z, для которых 1а] - [0]. Так как это
условие выполняется для тех и только тех чисел а, которые делятся на п,
то получаем, что Кег / = (п) - подгруппа группы Z, порожденная числом п.
?
Легко проверить, что ядро Кег / гомоморфизма /: G -*¦ И всегда является
подгруппой группы G, Более того, эта подгруппа Кег / обладает важным
дополнительным свойством: для любых а ? G и Ь ? Кег / имеет место
включение аЬа~г ? Кег/. Эго приводит нас к следующему важному понятию.
1Л9. Определение. Подгруппа Я группы G называется нормальной подгруппой
(или нормальным делителем) этой группы, если ghg? Н для всех g ? G и h ?
И.
Ясно, что каждая подгруппа абелевой группы нормальна, поскольку в этом
случае ghg 1 - gg~lh = eh - h. Дадим два критерия нормальности подгруппы.
1.20. Теорема, (i) Подгруппа И группы G нормальна тогда и только тогда,
когда она совпадает со всеми своими сопряженными подгруппами, т. е. тогда
и только тогда, когда подгруппа Н инвариантна относительно всех
внутренних автоморфизмов группы G.
(ii) Подгруппа Н группы G нормальна тогда и только тогда, когда для
любого элемента а ? G левый смежный класс аИ совпадает с правым смежным
классом На.
Важным свойством нормальной подгруппы является тот факт, что множество
(левых) смежных классов по ней можно наделить групповой структурой.
1.21. Теорема. Если И - нормальная подгруппа группы О, то множество
(левых) смежных классов группы G по подгруппе И образует группу
относительно операции
(аН) (ЬН) = (ab) И.
1.22. Определение. Пусть И-нормальная подгруппа группы G. Тогда группа,
образованная (левыми) смежными классами
22
Гл. 1. Алгебраические основы
группы О по подгруппе Я с операцией, введенной в теореме 1.21, называется
факторгруппой группы G по подгруппе Я и обозначается через G!H.
Если факторгруппа GiH конечна, то ее порядок совпадает с индексом (G : Я)
подгруппы Я в G. Таким образом, из теоремы 1.14 получаем, что для
конечной группы G
| G/H | = (G: Я) - | G |/| Я |.
Каждая нормальная подгруппа группы G естественным образом ; определяет
некоторый гомоморфизм этой группы, причем верно и обратное утверждение.
1.23. Теорема (о гомоморфизме). Пусть f: G ->¦ Gj - f (G) - гомоморфизм
группы G на группу Gj . Тогда ядро Кег f является ¦ нормальной подгруппой
группы G, причем группа G± изоморфна факторгруппе G/Ker /. Обратно, если
И - нормальная подгруппа
*,группы G, то отображение ф: G G/Я, определяемое условием ф (а) - аН для
любого а б G, является гомоморфизмом группы G на GiH, причем Кег ф = Я.
>
Выведем теперь для конечной группы одно важное соотношение для мощностей
х) классов сопряженных элементов, которое понадобится в § 6 гл. 2.
1.24. Определение. Пусть S - непустое подмножество труп- , пы G. Его
нормализатором в группе G называется множество ;
N (S) - {а ? G | aSa"1 - S\.
Ясли S - \b\, то М (\Ь\) будем называть нормализатором элемента Ь в G и
обозначать N (Ь).
1.25. Теорема. Для любого непустого подмножества S группы G нормализатор
N (S) является подгруппой группы G, причем имеет место взаимно
