Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
И и обозначаются
аН - { ah | h С Щ
(или а Н- И - \а + h\h С Щ* если О - аддитивная группа),
где а - фиксированный элемен+ группы G. Аналогично определяется разбиение
группы G на правые смежные классы по подгруппе Я, которые имеют
вид На - \ha\h С П\. Если G -
абелева группа, то ее левые смежные классы по подгруппе Я
совпадают с правыми.
1.11. Пример. Пусть G = Zla, и пусть Я- подгруппа {[01, [31, [61, [91}.
Тогда различными (левыми) смежными классами G по Я
являются
[0]+Я={[0Ь [3], [6], [9]},
Щ + [4], [7], ПО]),
[2] + //= {[2J, [5J, [8], [11]}. ?
1.12. Теорема. Если Я - конечная подгруппа группы G, то каждый (левый или
правый) смежный класс группы G по подгруппе Я содержит столько же
элементов, сколько Н.
1.13. Определение. Если подгруппа Я группы G такова, что множество
смежных классов G по Я конечно, то число этих смежных классов называется
индексом подгруппы Я в группе G и обозначается через (G : Я).
Так как левые смежные классы группы G по подгруппе Я образуют разбиение
этой группы, то из теоремы 1.12 вытекает следующий важный результат.
1.14. Теорема. Порядок конечной группы G равен произведению порядка любой
ее подгруппы Я на индекс (G : Я) этой подгруппы в G. В частности, порядок
любой подгруппы Я группы G и ее индекс в G делят порядок группы G, и
порядок любого элемента а ? G делит порядок группы G.
Подгруппы и порядки элементов для циклических групп описываются несложно.
Относящиеся к этому факты мы суммируем в следующей теореме.
§ I. Группы
19
Ы5. Теорема.
(i) Каждая подгруппа циклической группы также является циклической.
(ii) В конечной циклической группе (а) порядка т элемент ак порождает
подгруппу порядка га/НОД \k, т) (где НОД (k, т) - наибольший общий
делитель чисел k и т).
(iii) Если d - положительный делитель порядка т конечной циклической
группы (а), то (а) содержит единственную подгруппу индекса d. Для любого
положительного делителя I числа т группа (а) содержит в точности одну
подгруппу порядка I.
(iv) Пусть I - положительный делитель порядка конечной циклической группы
(а). Тогда (а) содержит tp (/) элементов порядка I. (Здесь ф (/) -
функция Эйлера, указывающая число целых чисел 1 с k < /, которые взаимно
просты с /.)
(v) Конечная циклическая группа {а) порядка т содержит (р (т) образующих
{т. е. таких элементов аГ, что (аг} - (а)). Образующими являются те и
только те степени аТ элемента а, для которых НОД (г, т) 1.
Доказательство, (i) Пусть И - подгруппа циклической группы (а), такая,
что И ф \е\. Если ап ? Н, то а~п ? Я; поэтому И содержит по крайней мере
одну степень элемента а с положительным показателем. Пусть d - наименьший
положительный показатель, для которого ad ? Я, н пусть а5 ? И. Деление s
на d дает s - gd -f г, 0 < г < d, q, г 0 h. Таким образом, as (а-*)* ~ аТ
? Н, что противоречит минимальности d, если г ^ 0. Поэтому показатели
всех степеней элемента и, принадлежащих Я, кратны d, так что И = (ad).
(и) Положим d~ НОД (k, tn). Порядок группы (ak) - наименьшее натуральное
число п, такое, что akn е. Последнее равенство справедливо тогда и только
тогда, когда число m делит число kn> т. е. тогда и только тогда, когда
mid делит п. Наименьшее натуральное число п с таким свойством есть m/d.
(iii) Если d задано, то (ай) является подгруппой порядка m/d группы (а) и
потому имеет индекс d в (а) ввиду (ii). Если (ak) - другая подгруппа
индекса d группы (а}, то ее порядок равен m/d, так что d = НОД (fe, m) в
силу (ii). В частности, d делит k, так что ak ? (ad) и (ак) является
подгруппой группы (ad). Но так как обе группы одного порядка, то они
совпадают. Вторая часть вытекает из того факта, что подгруппами порядка /
являются те и только те подгруппы, индексы которых равны mil.
(iv) Пусть | (а) \ - m и m = d/. В силу (ii) элемент ак имеет порядок / в
том и только том случае, если НОД (k, m) - d. Поэтому число элементов
порядка / равно количеству целых чисел k> 1 < k < т, для которых НОД {к,
m) = d. Значит, & - dh, где 1 < h < и тогда условие НОД (&, т) - d
эквива-
20
Гл. i. Алгебраические основы
лентно условию НОД (h, /) - 1. Количество таких чисел Н равно ф (/).
(v) Образующими группы (а) являются те и только те элементы, порядки
которых равны т, так что первая часть следует из (iv). Вторая же часть
вытекает из (ii). ?
При сравнении структуры двух групп весьма важную роль играют такие
отображения одной группы в другую, которые сохраняют их операции.
1,10. Определение. Отображение f: G Я группы G в группу Я называется
гомоморфизмом группы G в Я, если оно сохраняет операцию группы G. Это
значит, что если * и • - операции в группах G и Я соответственно, то
для' всех а, Ь ? G имеет
место равенство f (а * Ь) - f(a)-f(b). Если, кроме того, f -
отображение на Я, то оно называется эпиморфизмом (или гомоморфизмом та"),
и в этом случае И называется гомоморфным образом группы G. Гомоморфизм
группы G в G называется эндоморфизмом этой группы. Если f - взаимно
однозначный гомоморфизм группы G на группу Я, то он называется
