Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
лишь несколько страниц. Поэтому на первый взгляд может показаться
удивительным появление целой книги, посвященной теории конечных полей, да
еще вышедшей в серии "Энциклопедия математики и ее приложений". Одйако
читатель этой книги увидит, что ее авторы выполнили в высшей степени
своевременную задачу, собрав воедино различные линии развития, обязанные
своим возникновением данному предмету. В первую очередь следует отметить
бурно развивающуюся теорию кодирования (которой в этой серии уже была
посвящена монография Макэлайса). В настоящем издании теория кодирования
трактуется в более широком контексте теории многочленов над конечными
полями, и при этом устанавливается ее связь с линейными рекуррентными
последовательностями и регистрами сдвига.
Что же касается "чистой" (т. е. теоретической) стороны, то имеется
большая область теории чисел, которая наиболее естественно описывается в
терминах конечных полей. Многое из изложенного здесь (например,
тригонометрические суммы и уравнения над конечными полями) может служить
образцом для более общего случая, и авторы продвигаются так далеко, как
это только возможно при использовании лишь элементарных алгебраических
методов. В результате книга может служить введением
в указанную область.
Но конечные поля обладают такими свойствами, которые присущи далеко не
всем алгебраическим объектам. Например, оии (как, впрочем, и конечные
булевы алгебры) функционально полны. Это значит, что любое отображение
конечного поля в себя можно представить с помощью некоторого многочлена.
Доказательство этого факта несложно (оно вытекает, например, из
интерполяционной формулы Лагранжа), однако при отыскании многочленов,
осуществляющих перестановки, возникает целый ряд практических проблем.
Такие перестановочные многочлены используются в самых разных областях, и
в даииой книге излагаются методы их отыскания. Настоящее издание, вполне
соответствуя своему назначению настольной книги для прикладников,
содержит множество разнообразных алгоритмов
Предисловие редактора серии
с
9
разложения многочленов на множители - как над большими, так и над малыми
конечными полями.
Обширные комментарии в конце каждой главы дают интересную историческую
перспективу, а исчерпывающая библиография делает данный выпуск
Энциклопедии настоящим справочником по конечным полям.
Я. М. Кон
Памеле и Гердинде
Предисловие
Теория конечных полей - это ветвь современной алгебры, ставшая за
последние полвека весьма актуальной в связи с разнообразными
приложениями, в том числе в комбинаторике, теории кодирования и
математической теории переключательных схем. Начала теории восходят к
XVII и XVIII в. и связаны с именами выдающихся математиков Пьера Ферма
(1601 - 1665), Леонарда Эйлера (1707-1783), Жозефа-Луи Лагранжа (1730-
1813) и Адриена-Мари Лежандра (1752-1833), которые внесли вклад в
структурную теорию простых конечных полей. Что же касается общей теории
конечных полей, то она началась с работ Карла-Фридриха Гаусса (1777-1855)
и Эвариста Галуа (1811 -1832), но привлекла внимание прикладников лишь в
последние десятилетия, когда резко возросло значение дискретной
математики.
В данной монографии, первой книге, целиком посвященной конечным полям, мы
хотим представить оба аспекта этого предмета- как классический, так и
прикладной. Таким образом, читатель найдет здесь не только вопросы,
представляющие собой неотъемлемую сущность теории, но также и те
результаты и технические приемы, которые важны главным образом в связи с
их использованием в приложениях. Ввиду обширности предмета на выбор
материала были наложены жесткие ограничения. Пытаясь сделать книгу по
возможности замкнутой в себе, мы воздерживались от включения в нее
результатов и методов, принадлежащих собственно алгебраической геометрии
или теории полей алгебраических функций. Приложения описываются лишь в
пределах, позволяющих обходиться без слишком больших отступлений. Для
чтения книги требуются только знание основ линейной алгебры (в пределах
первого курса) и некоторые элементарные познания из анализа.
Предварительное знакомство с абстрактной алгеброй, безусловно, полезно,
хотя все необходимые сведения приводятся в гл. 1.
Глава 2 занимает в книге центральное место в силу того, что знакомит с
общей структурой конечных полей, а также с основными понятиями,
используемыми во всей книге. Третья глава, посвященная теории
многочленов, тесно связана с четвертой, рассматривающей алгоритмы
разложения многочленов на мно-
Предисловие
11
жители, так что их целесообразно изучать вместе. Столь же тесно связаны
гл. 5 н 6, касающиеся тригонометрических сумм. Главы 7 и 8 можно читать
независимо друг от друга, они опираются в основном на вторую и третью
главы. Приложения, представленные в девятой главе, базируются на
материале из предшествующих глав. Глава 10 дополняет некоторые части гл.
2 и 3.
Каждая глава открывается кратким обзором ее содержания, поэтому приводить
