Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
однозначное соответствие между левыми смет- ! ными классами группы G по
подгруппе N (S) и различными "ияо-жествами aSa"1, сопряженными с S.
Доказательство. Очевидно, что е ? N (S), и если a,b ? N (S), / то а~1 и
ab тоже принадлежат N (S), так что N (S) - подгруппа'{ группы G. Далее,
;j
• с
aSa~1 - bSb~x <=> S = a^bSb^a = (а~гЬ) S (a~xb)_1 ¦<=>> <;
-фф а^Ь Я N (^) b ? оН (S). /
Таким образом, сопряженные с 5 множества aSa~l и bSb"1 совпадают тогда и
только тогда, когда элементы а и b принадлежат
-.а
о
х) Мощностью конечного множества называется число элементов этого
множества. - Прим.- персе.
3
§ 2. Кольца к поля
23
одному и тому же левому смежному классу группы G по подгруппе N (S).
Отсюда следует вторая часть теоремы. ?
Если собрать все элементы группы G, сопряженные с фиксированным элементом
а, то получим множество, называемое классом сопряженных с а элементов
группы G или классом сопряжен-пости группы G, содержащим элемент а. Для
некоторых элементов соответствующие им классы сопряженности состоят из
единственного элемента (а именно из самого исходного элемента). Таким
свойством обладают элементы центра группы и только они.
1.26. Определение. Центром группы G называется ее подмножество
С = \с ? G | са - ас для всех а ? G}.
Без труда проверяется, что центр - нормальная подгруппа группы G.
Очевидно, что группа G является абелевой тогда и только тогда, когда С -
G. Несложный подсчет приводит к следующему важному равенству, которое
иногда называют "уравнением классов сопряженности".
1.27. Теорема. Пусть G - конечная группа с центром С. Тогда имеет место
равенство
k
| G | - [С | -j- nt,
f=i
где Лх, ..., nk - мощности классов сопряженности группы G, содержащих
более одного элемента, так что щ Тр 2, и при этом каждое число nt делит
порядок | G | группы О, I i ^ k.
Доказательство. Поскольку отношение "а сопряжено с ??" является
отношением эквивалентности на G, то различные классы сопряженности группы
G образуют разбиение множества G. Поэтому порядок | G | группы G равен
сумме мощностей различных классов сопряженности. Но имеется ровно | С |
классов сопряженности, состоящих из единственного элемента (они
соответствуют элементам центра С), а мощности пЛу ..., пк остальных
классов сопряженности превышают единицу. Отсюда и вытекает требуемое
равенство. Для доказательства того, что каждое из чисел nt делит | G |,
достаточно заметить, что - число элементов, сопряженных с некоторым
элементом ? G, и потому в силу теоремы 1.25 оно равно числу левых смежных
классов труппы G по подгруппе N (а*), а индекс нормализатора по теореме
1.14 делит порядок |G| группы G. ?
§ 2. Кольца и поля
В большинстве числовых систем, используемых в элементарной арифметике,
имеется две различные бинарные операции:
24
Гл, 1. Алгебраические основы
сложение и умножение. Примерами могут служить целые, рациональные и
действительные числа. Сейчас мы определим важный тип алгебраических
структур, называемый кольцом, который обладает основными свойствами
указанных числовых систем.
1.28. Определение. Кольцом (R, +, •) называется множество R с двумя
бинарными операциями, обозначаемыми символами 4- и такими, что
1. R - абелева группа относительно операции +.
2. Операция ¦ ассоциативна, т. е. для всех а, Ь, с С R
{а Ь) 'С = а,'{Ь - с).
3. Выполняются законы дистрибутивности, т. е. для всех
а, Ь, с С R
а{Ь + о) = а*Ь 4- а-с и (Ь + с) ¦ а ~ b * а 4~ с ¦ а.
Следует обратить внимание на то, что операции + и • не
обязательно являются обычными сложением и умножением. Для краткости
кольцо (Rt -f, •) будем обозначать одной буквой R. Единичный элемент
аддитивной группы кольца R называется нулевым элементом (или нулем)
кольца R и обозначается символом 0, а обратный к элементу а этой группы
обозначается через -а. Вместо а 4~ (~~Ь) пишут обычно а - Ь, а вместо а*Ь
- просто ab. Из определения кольца получается общее свойство а0 = Оа - 0
для всех а С R- Из этого в свою очередь следует, что (-а) Ь = а (-6) - -
аЬ для всех a, b ? R.
Простейшим примером кольца является, по-видимому, кольцо
обычных целых чисел. Рассматривая его свойства, нетрудно обнаружить среди
них такие, которыми не обладает произвольное кольцо. Таким образом,
кольца допускают дальнейшую классификацию.
1.29. Определение.
(i) Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет
мультипликативную единицу, т. е. если существует такой элемент е ? R, что
ае еа - а для любого а ? R.
(ii) Кольцо называется коммутативным, если операция -коммутативна.
(iii) Кольцо называется целостным кольцом (или областью целостности),
если оно является коммутативным кольцом с единицей е Ф 0, в котором
равенство аЬ ~ 0 влечет за собой а - О или b = 0.
(iv) Кольцо R называется телом, если R Ф {0} и ненулевые элементы в R
образуют группу относительно операции .
(v) Коммутативное тело называется полем.
Поскольку наша книга посвящеиа полям, то особое внимание мы обратим на
определение этого понятия. Прежде всего
