Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 13

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 371 >> Следующая

П П
fix) = ? aixi и g{x) = 2 btxl
f=rO (=0
над R считаются равными тогда и только тогда, когда at = 6* Для 0 < i <
п, Определим сумму многочленов / (х) и g (х) равенством
34
Гл. 1. Алгебраические основы
а произведение многочленов
т п
f(x) = Е "iX' и g(x) = ? bjxi
1=0 /=0
равенством
m-f/i
f(x)g(x) = 23 ck*k, где ck
A:=0
2
a,bj.
vf.
Легко видеть, что множество многочленов с такими операциями образует
кольцо.
1.48, Определение. Кольцо, образованное многочленами над кольцом R с
введенными выше операциями, называется кольцом многочленов над R и
обозначается через R [х].
Нулевым элементом кольца R [х] является многочлен, все коэффициенты
которого равны 0. Он называется нулевым многочленом и обозначается через
0. Из контекста всегда будет ясно, обозначает ли символ 0 нулевой элемент
кольца R или нулевой многочлен.
Л?
П
да
1.49. Определение. Пусть / (*)
Е а,*>
(-0
многочлен над
кольцом R, не являющийся нулевым. Значит, можно предположить, что ап Ф 0.
Тогда ап называется старшим коэффициентом многочлена f (х), а0 - его
постоянным членом и п - его степеньщ (последняя обозначается символом п =
deg (f (х)) - deg (f)). Длй| удобства будем считать, что deg (0) ~ -оо.
Многочлены степени называются постоянными многочленами (или константами).
Если кольцо R имеет единицу I и еслн старший коэффициент многочлена / (х)
равен I, то многочлен / (х) называется нормированным (его называют также
приведенным или унитарным).
Подсчет старших коэффициентов суммы и произведения двух; многочленов
приводит к следующему результату. ;
1.50. Теорема. Пусть ft g 6 R I*]. Тогда
deg (/ + ?)< max (deg (f), deg (g)), deg (fg) < deg (f) + deg (g).
Если R - целостное кольцо, то
St
deg (fg) = deg (f) + deg (g)
Если отождествить постоянные многочлены с элементам: кольца R, то R можно
рассматривать как подкольцо кольца R [х]| Некоторые свойства кольца R
наследуются кольцом R [х]. В сле|
§ 3. Многочлены
35
дующей теореме доказательство части (iii) опирается на равенство (1.4).
1.51. Теорема. Пусть R - кольцо. Тогда
(i) R [х ] является коммутативным кольцом в том и только том случае, если
кольцо R коммутативно.
(ii) R [х \ является кольцом с единицей тогда и только тогда, когда R -
кольцо с единицей.
(iii) R \х ] является целостным кольцом тогда и только тогда, когда R -
целостное кольцо.
В последующих главах мы почти всегда будем иметь дело с многочленами над
полями. Пусть F обозначает поле (не обязательно конечное). Понятие
делимости применительно к кольцу F \х\ вводится следующим образом. Будем
говорить, что многочлен g ? F [х] делит многочлен / ? F [х], если
существует многочлен h ? F [х], такой, что / = gh. В этом случае будем
также говорить, что g - делитель многочлена /, а многочлен / делится на g
(нли кратен g). Обратимыми элементами в кольце F [х] являются делители
постоянного многочлена 1, а следовательно, ими являются все ненулевые
постоянные многочлены и только они.
Как и в кольце целых чисел, в кольце многочленов над полем существует
деление с остатком.
О
много-
1.52. Теорема (алгоритм деления). Пусть g член из F [х], где F - поле.
Тогда для каждого f ? F [х 3 суще-
ствуют такие многочлены q, г ? F [х], что
/ = qg + г, где deg (г) < deg (g).
1.53. Пример. Рассмотрим многочлены f (х) = 2х(r) + х4 +
f 4х + 3 и g (х) - Зх2 + 1 из кольца Fb 1x3. Вычислим многочлены q, г ?
Гв 1x3 из теоремы 1.52, используя обычное деление
углом:
2xs
2х5
х4
+ 4х3
+ 4х + 3
Зх2 4- I
4х8 -f- 2х(r) -f- 2х + I
х4
^4
X3
Зх2 + 4х + 3

Зх3 + 2х + 3 Зх3 4- I
2х + 2
Таким образом, q (х) = 4Х3 + 2х2 + 2х + 1, г (х) = 2х + i очевидно, deg
(г) < deg (g).
36
Гл. 1 Алгебраические основы
1
Тот факт, что кольцо F [х] допускает алгоритм деления, при- | водит
(стандартным рассуждением) к тому, что каждый идеал j кольца F [х]
главный. |
К'"
1.54. Теорема. Кольцо F [х ] многочленов над полем F является 1 кольцом
главных идеалов. Другими словами, для каждого идеала | / Ф (0) кольца F
1х] найдется однозначно определенный норми- 1 рованный многочлен g С F [х
], такой, что J ~ (g). 1
VlP
cij
Доказательство. Согласно теореме 1 *51 (iii), F [х] является I целостным
кольцом. Пусть J ф (0) - идеал кольца F [х]. Пусть, Т далее, Н (х) -
ненулевой многочлен наименьшей степени, содер- j жащийся в /, b - старший
коэффициент многочлена h (х) и I g (х) = Ь~ХН (х). Тогда g- нормированный
многочлен, содержа-, j щийся в /. Если f - произвольный многочлен из /,
то, применяя 1 алгоритм деления, найдем q, г С F [х], такие, что
f=qg~Fr'l и deg (г) < deg (g) - deg (h). Так как J - идеал, то г = /- | -
qg 6 Л и по определению А должно быть г = 0. Поэтому много- 1 член ?
делится на g, так что / - (g). Если g1 С F [х] - другой I нормированный
многочлен, такой, что J ~ (gj, то g C\gx и 1 gi = <?2g, где сх, сг ? F
[х]. Отсюда g = схс^ так что сгсг = ¦!, | т. е. сх и с2 - постоянные
многочлены. Поскольку оба многочлена 1 g и gx нормированы, rog1 = g, и
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed