Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
единственность g установлена. ? 1
1.55. Теорема. Пусть /ь ..., /" - многочлены из F [х], нем все равные 0.
Тогда существует однозначно определенный нормиро-1 ванный многочлен d С F
[х], обладающий следующими свойст-j вами'. ' I
(i) d делит каждый многочлен /*, 1 < i п\ 1
(и) любой многочлен g ? Е 1x1, который делит каждый из% многочленов ft, 1
i гс, делит и многочлен d, 1
Более того, многочлен d может быть представлен в виде 1
d = bifi ~h • sde bx, hn С F lx]. (1.5)8
fm
Доказательство. Множество /, состоящее из всех многочленов! вида^Д + ...
+ cnfn> где^, ..., сп ? F fxl, является, как легко! убедиться, идеалом
кольца F 1x1. Поскольку не вс eft равны иулю,1 J ф (0), и по теореме 1.54
получаем, что / = (d) для некоторого! нормированного многочлена d С F [jc
]. Свойство (i) и представле-1 ние (1.5) сразу вытекают из определения
многочлена d. Свойство!
(ii) следует из (1.5). Если dx - другой нормированный многочлена из F
[х], удовлетворяющий (i) и (ii), то из этих свойств получим,! что
многочлены dx и d делят Друг друга, так что (d) - (dt). Поэтому I в силу
единственности, доказанной в теореме 1.54, dx = d. Qj
Нормированный многочлен d, появляющийся в теореме 1*55,1 называется
наибольшим общим делителем многочленов /4, ..., /Д и обозначается НОД
(fx, fn)* Если НОД (fu ..., fn) - 1, тщ
§ 3. Многочлены
3?
многочлены /ь ..., /п называются взаимно простыми, Они называются попарно
взаимно простыми, если ИОД (ff, fj) - 1 для
1 < i < j < п.
Наибольший общий делитель двух многочленов / и g из F [л: 3 можно найти
при помощи алгоритма Евклида. Предположим без ограничения общности, что
многочлен g отличен от нуля и не делит многочлен /. Тогда, применяя
многократно алгоритм деления, получим
/ = qig + гъ 0 < deg (rt) < deg (g),
g = i + r2t 0 < deg (r2) < deg (гД,
rt = ЦьН + rBf 0 < deg (r3) < deg (r2),
rs-% = s-i + rs, 0 < deg (rs) < deg (rs_t),
" qs+tr
Здесь qlt ..., и rlt ..., rs - многочлены из F [хЗ. Так как степень deg
(g) конечна, то процедура должна закончиться после конечного числа шагов.
Если старший коэффициент последнего ненулевого остатка rs равен Ь, то НОД
(f, g) ~ 6_VS.
Для нахождения НОД (flt .... fn) при п > 2 и при ненулевых многочленах f*
сначала определяют НОД (fu /2), а затем последовательно находят, применяя
алгоритм Евклида, НОД (НОД (fu /2), /э) - НОД (fu /а, /а) И Т. Д.
1.56. Пример. Применяя алгоритм Евклида к многочленам [ (х) = Йх8 + х3 +
х2 -f 2 и g (х) = х4 + х2 + 2х из F3 Ixl, получаем
2х6 -f xs + х2 + 2 = (2х2 -f- 3) (х4 + х2 + 2*) + х + 2, х4 + х2 + 2х (х3
+ х2 + 2х + I) (х -f 2) + 1,
х + 2 = (х-f 2) 1.
Следовательно, НОД (/, g) = I, т. е. многочлены / и g взаимно
просты. П
Двойственным к понятию наибольшего общего делителя является понятие
наименьшего общего кратного. Пусть /1( ..., fn - ненулевые многочлены из
F [хЗ. Тогда можно показать (см. упр. L25), что существует однозначно
определенный нормированный многочлен т ? F [х3, обладающий следующими
свойствами: 0) т делится на каждый многочлен fit 1 < гс; (ii) любой
многочлен g С F [л: 3, который делится на каждый из многочле-Нов /ь 3 < /
< гс, делится на т. Многочлен т называется наименьшим общим кратным
многочленов /ь fn и обозначается
38
Гл. I. Алгебраические основы
НОК (/i, fn)• Для двух ненулевых многочленов /, g ? F Ы
имеет место соотношение
a~lfg = НОД (Д g) НОК (Д 0-6)
где а - старший коэффициент произведения fg. Это соотношение легко сводит
вычисление НОК (Д g) к вычислению НОД (Д g). Однако для трех и более
многочленов прямого аналога формулы (L6) не существует. В этом случае для
нахождения наименьшего общего кратного применяется тождество
НОК (ft /") = НОК (НОК (Д, ...f fn-t), /")•
Простые элементы кольца F [х] обычно называются неприводимыми
многочленами. Ввиду особой важности этого понятия ; дадим еще одно его
определение.
1.57. Определение. Многочлен f ? F [х] называется неприводимым (точнее,
неприводимым над полем F или в кольце F U1), i если он имеет
положительную степень и равенство f = gh, g, ; h ? F [x]y может
выполняться лишь в том случае, когда либо g, либо h является постоянным
многочленом.
Короче говоря, многочлен положительной степени неприво- ; дим над F, если
он допускает лишь тривиальные разложения на 1 множители. Многочлен
положительной степени из F [х], не яв- j ляющийся неприводимым над F,
называется приводимым над F. .) Приводимость или неприводимость данного
многочлена суще-) ственно зависит от того, над каким полем он
рассматривается. | Например, многочлен хг - 2 ? Q 1х] неприводим над
полем QJ рациональных чисел, но приводим_над полем_К действительных j
чисел, так как х2 - 2 = (х - у^2) (х + у^2). |
Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве | кольца F [х],
поскольку каждый многочлен из F [х] может быть I записан и притом
единственным способом в виде произведения | неприводимых многочленов. Для
доказательства этого предложе- I иия нам понадобится следующий результат.
