Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 4

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 371 >> Следующая

Группу (G, *) будем обозначать просто G. Легко показать, что единичный
элемент е группы G, а также обратный элемент а-1 для каждого данного
элемента а ? G определяются однозначно указанными выше условиями. Далее,
для всех a, b ? G имеет место равенство (а * Ь)'1 = Ь~1 * а-1. Для
простоты мы часто для групповой операции будем использовать
мультипликативное обозначение • (как для обычного умножения) и вместо а *
b писать а-Ь или просто аЬ (называя этот элемент произведением элементов
а и Ь). Но необходимо подчеркнуть, что при этом мы отнюдь не
предполагаем, что операция и в самом деле является обычным умножением.
Иногда, однако, для групповой операции бывает удобно использовать
аддитивную запись и писать а + Ь вместо а * b (называя этот элемент
суммой элементов а и Ь), О вместо е (называя этот элемент нулем) и -а
вместо а~1. Такие
14
Гл. 1. Алгебраические основы
(аддитивные) обозначения обычно резервируются для абелевых групп.
Закон ассоциативности гарантирует, что выражение вида ахаг ... ап, где at
? О, I с i < я* не содержит никакой двусмысленности, так как независимо
от расстановки скобок это выражение всегда представляет один и тот же
элемент группы G. Пусть а ? G и п ? IN. Будем применять запись
и называть элемент ап п-й степенью элемента а. Если же для групповой
операции применяется аддитивное обозначение +, то вместо ап будем писать
Используя обычные обозначения, мы получаем следующие правила:
Для п - 0 ? % полагаем а° ~ е в мультипликативных обозначениях и Оа - 0 в
аддитивных (здесь второй нуль является единичным элементом группы G).
1.2. Примеры
(i) Пусть О - множество целых чисел с операцией + (обычным сложением).
Известно, что это ассоциативная операция и что сумма двух целых чисел -
однозначно определенное целое число. Легко убедиться, что G - группа, в
которой единичным элементом является нуль 0, а обратным для целого числа
а - противоположное число -а. Эту группу обозначают через Z.
(И) Множество, состоящее из единственного элемента е с операцией
определенной условием е * е = е, образует группу.
(Ш) Пусть О - множество {О, I, 2, 3, 4, 5| остатков от деления целых
чисел на 6, и для а, Ь ? G пусть а * Ь - остаток от деления на 6 обычной
суммы чисел а и Ь. Существование единичного элемента и обратных здесь
очевидно, но для установления ассоциативности операции * требуются
некоторые вычисления. Полученную группу можно непосредственно обобщить,
заменив целое число 6 любым натуральным числом п. ?
Интересный класс образуют группы, в которых каждый элемент является
степенью некоторого фиксированного элемента
ап = аа ... а (я сомножителей а)
па = а + a • ~f а (п слагаемых а).
М ультипликативные обозначения
а~п = (а~~1)п
(ат)п - атп
атап = ат+п
Аддитивные
обозначения
(-я) а = п (-а) та + па ~ (т + п) а т {па) - (тп) а
§ 1. Группы
15
группы (при аддитивной записи говорят о кратном, а не о степени).
1.3. Определение. Мультипликативная группа G называется циклической, если
в ней имеется такой элемент а, что каждый Элемент Ь ? G является степенью
элемента а, т. е. существует целое число k, такое, что Ь - ак. Этот
элемент а называется образующим группы G. Для циклической группы G
применяют обозначение G = (а).
' (
Из определения сразу же следует, что каждая циклическая группа
коммутативна. Заметим также, что циклическая группа может иметь не один
образующий. Например, в аддитивной группе % образующим является как I,
так н -1.
Рассматривая аддитивную группу остатков от деления целых чисел на п ? IN,
обобщающую пример 1.2 (iii), нетрудно заме-; тять, что используемый там
тип операции приводит к отношению ^эквивалентности на множестве целых
чисел. В общем случае отношением эквивалентности на множестве 5
называется подмножество R множества S X S упорядоченных пар (s, /), s, t
? Sr обладающее следующими тремя свойствами:
(a) (s, s) ? R для всех s ? 5 (рефлексивность).
(b) Если (5, /) ? R, то (/, s) ? R (симметричность).
(c) Если (s, t), (if и) ? R, то (s, и) ? R (транзитивность). Элементы s,
t ? 5 называются эквивалентными, если (s, t) ? R. Наиболее простым
примером отношения эквивалентности является равенство. Важно отметить,
что любое отношение эквива-
• леитности на множестве 5 вызывает некоторое разбиение этого множества,
т. е. представление 5 в виде объединения его непустых попарно
непересекающихся подмножеств. Собрав вместе все элементы множества S,
эквивалентные некоторому фиксиро-ванному элементу s ? S, получим класс
эквивалентности эле-^ мента s, обозначаемый символом
UI = с 5 j (s, /) С R\-
I • •*
*•• •
| Совокупность всех различных классов эквивалентности и дает | Требуемое
разбиение множества 5. Заметим, что Is] = [Л в том только том случае,
когда s и / эквивалентны, т. е. (s, t) ? R. ШЙример 1.2 (iii) подводит к
следующему понятию.
1.4. Определение. Пусть а и b - произвольные целые числа to п -
натуральное число. Будем говорить, что а сравнимо с Ь ЩШ модулю пл и
будем писать а = b (mod п), если разность а - Ь § Щелятся на т. е. если а
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed