Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
в силу первой (доказанной) части (6.5)
? t)(C,) ... V (Ст) V (ст+1) =
= Е о (с,) ... у (ст) (и (ст+1) -[-!] =
с1+--+ст+ет+1=ь
= Е V (Cl) • • • f (Ст) (f (6 - С,-------------Ст)+П =
ffl* " ** ст € Fg
= 9 ? С (Cl) ... v(cm).
346
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Справедливость последнего шага вытекает из того, что выражение ¦ в
квадратных скобках равно нулю, если cl -fст Ф Ь, и равно qr если сг 4--
..+ ст = Ь. Остальное вытекает из предположен ия индукции. ? i
В дальнейшем мы часто будем использовать обозначение N (. . .) для числа
решений уравнения, указанного в скобках, лежащих в декартовой степени
основного конечного поля, учиты- > вая лишь те переменные, которые на
самом деле входят в уравнение. Так, N + ct0x\ = Ъ) обозначает число
решений указан- S
ного уравнения в Tj. 4
Теперь продолжим изучение квадратичной формы f над по- у лем [Fg при
нечетном q. Как мы видели, достаточно найти число решений N (/ (хъ х^) =
Ь) уравнения, указанного в скобках, для невырожденной квадратичной формы
/. При этом будем различать случаи четного и нечетного п. Рассмотрим
сначала одно уравнение специального вида.
6.24, Лемма, Пусть т}- квадратичный характер поля fq 'J
нечетной характеристики, b ?fq и alt а2 ? JFJ. Тогда I
N {а\х\ ~r a2xt - b) q 4-v(b) ri (-а^).
Доказательство. Считая ^ и с2 элементами поля получим используя (5.37),
соотношение
N (aiXi 4- айх% = Ь) ~ 2 N (aix2i = и) N (айхI ¦= с2) =
ct+c%^b
щ
;.7;
<
I : (
• 41
•V
.V.
• 4
st.
,:4
• • vv
Ш tv*
f ¦
4
¦¦¦= 2 [i + 4(W)][i + 4(W)] =
ci4cs-^
= я + ч (<ч) 2 ч (с,) + ч (",) 2 ч Ы +
<4€F, ?S€F,
+ Ч Мг) 2 Ч (Сй) =
П(^1ад Е Цфс - с2).
••
*!' * г •
<\Д
Ж*
.-п.
s-N
Теперь на основании теоремы 5.48 последняя сумма равна v (b) *
г\ (-1), и, таким образом, результат доказан. ?
*
6.25, Замечание. Полученный выше результат показывает, в частности, что
уравнение ахх\ 4- = & всегда имеет хотя бы
одно решение в FJ. Но это можно было бы установить и следующим несложным
рассуждением. Рассмотрим множества S =
= {ахсЦъ С F?! и Т ~ {Ь ~ a2ci\c2 С Fq! при нечетном q;
§ 2. Квадратичные формы
347
их мощности |?| и | Т\ равны (q + 1 )/2. Поскольку | 5| + | Т\ > > q, то
5 и Т должны иметь хотя бы один общий элемент, например с. Тогда с = й\С\
= 6 - a2cl для некоторых с\, с2 ? Fg. Это значит, что \ + а2с\ = ^виду
того что при четном q
каждый элемент поля Fg является квадратом некоторого элемента этого поля,
замечание тривиально выполняется и для случая четного д. ?
6.26. Теорема. Пусть / - невырожденная квадратичная форма от четного
числа п переменных над полем Fg* где q нечетно. Тогда для любого b ? Fg
число решений уравнения f (хь хп) - Ь
в F" равно
Г' + V(b)q^\((-\f4),
где г] - квадратичный характер поля ?q и А = det (f).
Доказательство. Пусть a\xf +...+ апхп - диагональная квадратичная форма,
эквивалентная f. Поскольку эквивалентным квадратичным формам f и g
соответствует одно и то же значение ц (А) в силу (6.3), а также одно и то
же число решений уравнений f (xi, хп) - а и g (жь ..., хп) = а в FJ для
любого а ? ? Fg, то утверждение достаточно доказать для уравнения а\jc?
+...
~ Ь, где все аг отличны от 0. Для т - п/2 и си ¦¦¦ € Fg из леммы 6.24 и
соотношения (6.5) получаем
N (aixi 4- • * • 4- апх2п = b) =
" 2 N {а.\Х\ 4 а%х2 (tm) с\) ... N {an^iXn~i 4 о.пхп ~ ет) =
с1 + - шш^~ст=^
Е I? + V (Cj) ч (-ajO-з)] ... [q + V (Cm) ч (-вц-Л.)] =
С1 + -"+Ст"Ь
= j~т|(( 1)т... ап) 2 vfa) ... а(ст) =
Ci+.. +Ст-6
+ v(b)qin-'l)l\{(-\f \ ... an). ?
6.27. Теорема. Пусть /-невырожденная квадратичная форма от нечетного
числа п переменных над полем Fg, где q нечетно. 7Эгда для b ? Fg *шсло
решений уравнения f (х1у .... жп) = Ь
в Fg равно
9я"1 + 9(""1>/2Л ((-1/я-1>/а 6А), де ri - квадратичный характер поля Fg и
А - det (/).
Доказательство. Как и в теореме 6.26, указанную формулу
г
Достаточно установить для уравнения ахх\ +...+ artхп = bf где
348
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
..:Н
все а( отличны от 0. Формула справедлива для п = 1. Для п 3 применим
теорему 6.26 и получим при си с2 ?
•Ai
•Ш
* -..м
апхп
Ь)
ш
2j iV (#i#i = cj N ip.2x\ -f
f|4"r
-f- CLnXn - C?) -
* *
iJBi
- E [ 1 -{- T| (йф)3 ^+^=6
•[<f 2 + t>(Cs)0
*1 (("1)
^2 * * * an)]
* ••"к
$ •y •
-M
n-2
ч Ы E ч (со
C1 € f Q
,<n-3)/2
ч ((-i) п (C-i)
at
* I *
<0 E "(Cs)
• Щ
. il
41
!
".€F
5>r
(я-l )/2
Й1
<n-D/2
a
a") E Л (Cj) v (ca)
fx+c2=6
¦ ¦ On) E 4 (c) ti (ft
C€F,
¦ж ' /• •!?
i * ?
• V>'
* .Ш
•J7 '5
' УЙ
•* j.
c).-!
m
где на последнем шаге мы воспользовались формулами (5.37) и (6.4). Теперь
получаем
'•.ГО
•¦•I
Е 4(c)v(b-c)
C?F,
Е л(с)[0(* -С) + 1)
C6F?
ЧП(Ь),
%
1 е ' $
•
•:V5v •/•г??.,
•ЧЙ
ъ>.
Ч l*?J>
и результат доказан.
Дадим теперь еще одно доказательство теорем 6.26 и 6.27 использующее
метод доказательства леммы 6.24 и свойства cyMMi| Якоби. Как и раньше,
достаточно рассмотреть уравнение а{х] +*-•
+ йпХп == Ь, где все at отличны от 0. Обозначим через ф0 тривиаль-ный
