Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 147

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 371 >> Следующая

мультипликативный характер поля Fg, и пусть % tj
и N - N [а{х\ + ...+ anxl - b). Тогда для си ..
*
N (ахх\ = ci) ... N (anxl = сп) =
сп??
\п
N =
S
¦ '^тц-Ь
S [ 1 ~4~ Ф1 (йа1 *)1 ¦ • • Ч" Ф) (га1)] -
f14-'--+c71=&
Е [ФвМО + ФаМа)] ... [фв (С п&п) + Ь (с вОи)]
¦Ш
Vi*
Л:
5>s
§ 2. Квадратичные формы
349
1
= ? ? ••• М") =
^4"* " м /j^~0
1
? 4'i, ("i) • • • Ъп К) ? (cj) • • • (Cn) =
. .-(-^^=0
1
" ]?j (%) * * * fan) *?b ('Фл* • * •" Ф*я)*
lV "*f *n~°
В силу (5.38), (5.39) и (5.40) в этой сумме остаются лишь два члена, а
именно те, которые соответствуют n-наборам (iu ..., in), равным (0, 0)
и (1, ..., 1), так что
iV^^"-* + T1 ("i an)Jb(т|# т|), (6.6)
где в сумму Якоби входит п экземпляров г\.
Для Ъ ф 0, применяя (5.38), получим
jV = 4-Т| {<*! "* *1") Л" (ft) ^ (Л. Л)* (6*7)
Если п четио, то можно применить (5.44) и теорему 5.12 (iv), и тогда для
произвольного нетривиального аддитивного характера х П0ЛЯ IFq получаем
•/(л. • • •. л) = -5-°(л. х)" = - у[С(л, х)Т/2 =
= -1 [Л (-1)qTn = -q^nЛ (ЫН-
Теперь из (6.7) следует равенство
лг = <Г'-?<п-2,/2л((-1)л/Ч ... ",),
что согласуется с теоремой 6.26 при Ь Ф 0. Если же п нечетно, то из
(5.43) и теоремы 5.12 (iv) получим
•Нл Л) = С(Г]. X)"'1 = [G(л, Х)']'"'1,/а = [л{-1)?]'"'',/2 =
= (6.8)
так что из (6.7) вытекает
N^qn-'+e-l)l\({-\r-^ba, ... q")i
что согласуется с теоремой 6.27.
Теперь рассмотрим случай 6 - 0. Если п четно, то можно применить (5.42),
и тогда получим
•Fq (Л* л) = (</-!) Л (-"U J (л* •••" Л).
ч ' 'IW
. и
350
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
1 экземпляров тр
in,
а.
&n)f
где в последнюю сумму Якоби входит п -Таким образом, согласно (6.8),
Л (л. л) ^(9- 1)я{п~2)/2ц((
и из (6.6) получаем равенство
N = qn~l f (q _
что согласуется с теоремой 6.26. Если же п нечетно, то, согласно (5.41),
/о (л* Л) 6; поэтому из (6.6) следует, что N = qn~\ и это согласуется с
теоремой 6.27. ?
6.28. Замечание. При нечетном числе q мы можем также найтн
число решений в уравнения h (хъ ..., лг") = 6, где b С Fr^ и h -
многочлен над степени 2 (но не обязательно квадратич- ! ная форма). Можно
написать h - / -Ь g, где f - квадратичная
;Чу
форма и deg (g) 1. Применив невырожденное линейное пре-
образование, переводящее / в диагональную квадратичную форму, получим
уравнение
а\Х\
4~ ttkx'l 4~ кххх 4_
ЬпХп - ь (1 < А < л, все щ Ф 0),
щ :'4
которое имеет то же число решении, что и исходное уравнение,.^ Если А <
я, то без ограничения общности можно предположить, что Ьп Ф 0. Тогда
число решений этого уравнения равно qn~{, так как переменным xlt хп_г
можно придать произвольные^ значения из fq и по ним однозначно определить
значение хп. " Если же к = я, то невырожденное линейное преобразование
X,
> г *
У г " апу%
^ (2а,)
-1
я, приводит к уравнению аху\ 41 с для некоторого с С F0, не изменяя числа
решений
Ж
V--4k$
S | | •¦SB л
У*?!:?,*
л||
ir.?
•7Ш
Теперь число решений указывается теоремами 6.26 и 6.27.
Перейдем теперь к случаю четного q, т. е. к случаю, когдёщ основным
является конечное поле характеристики 2. Рассмс^;
трим тот же вопрос о числе N ([ (м, .... хп) - Ь) решений в уравнения f
(хь хп) ~ bf где f -квадратичная форма над fg от п переменных и b ? fq.
Будем применять ту же стратегию* что и раньше, а именно приведем сначала
/ к эквивалентной ква дратичной форме простейшего вида. Квадратичную
форму | от я переменных над полем характеристики 2 назовем невырождея*
ной, если / не эквивалентна никакой квадратичной форме от меньшего, чем
я, числа переменных (если такое определение применить к случаю нечетного
q, то мы придем к тому же понятию невырожденности, что и раньше). Снова
достаточно изучить лишь случай невырожденной квадратичной формы.
6.29. Лемма, Невырожденная квадратичная форма f (jclt хп) отл >3
переменных над полем Fg при четном q эквивалентна х\хъ + g (xs, ..., хп),
где g - невырожденная квадратичная форма
над Fg от п - 2 переменных.
§ 2. Квадратичные формы
351
Доказательство. Покажем сначала, что квадратичная форма f эквивалентна
некоторой квадратичной форме, в которой коэф-
Г>
фициент при xi равен 0. Запишем
f {X\t &ijXfXj. (6*9)
n
Если какой-нибудь коэффициент ait равен 0, то изменяя нумерацию
переменных, полагаем atl - 0. Поэтому можно предположить, что все йц
отличны от 0. Если при этом все atj равны 0
для i < /, то
f {хii *.*, Хп) " &\iX\ ф ¦ * * 4" аппХг2 (tm) (#?{ Х\ afmXji) ,
но это означает, что f эквивалентна квадратичной форме от одной
переменной, что противоречит невырожденности /. Поэтому найдется aij Ф 0,
г < /, и, изменяя соответствующим образом нумерацию переменных, можно
считать, что а23 ф 0. Выделяя теперь члены f, содержащие х2, можно
написать
/ (*ъ ¦¦¦) хп) ~ а2%Х2 4(tm) х2 (a12xt ф й2Эх3 f * * * 4" а2пхп) 4-
4- Si Xq-, .xn),
и затем, применив невырожденное линейное преобразование переменных
Хц -¦ й23 {а\чУх Ф Уз ф #24 (/4 4 * * * 4" #2 пУп),
Xi = yt для i Ф 3,
перейти к эквивалентной квадратичной форме
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed