Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 150

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 371 >> Следующая

этой теоремы), что
|.<| Л(0- l)q{n~2)f2-
Группа мультипликативных характеров поля Fq, согласно следствию 5.9,
циклична. Пусть X - образующий элемент этой группы.
В теореме 6.33 можно взять Я* = i - 1, ..., п. Тогда
произведение
\k \fn __ i(/i + (in <?-i>/<*")
/у] , " Я ryfl /у
будет тривиальным характером в том и только том случае, если (Шг) + ... +
(jn/dn) (= так что | Т \ = М (dly dn). П
6.37. Теорема. Пусть b ? Fq. Тогда число N решений в Fq
k k
диагонального уравнения а^х* + ... + аъх(tm) - Ъ удовлетворяет неравенству
| N - qn~x | <;
<t№- I) -(1 -<t!/2)M(4, ...,4)]^"^2,
где dt = НОД (*<f q - 1), 1 < i < n.
Доказательство. Из теорем 5.22 и 6.34 следует, что
I N ~ f~l I < l(di ~ 1)... (dn ~ 1) ~ I T |1 q<"~W +1T | q<"-^2 =
= (№ - 1)... (dn - 1) - (1 - <r 1/2)| T |]9<-¦>/=.
Остается только напомнить, что | Т \ ~ М (dly ..., dn) на основании
доказательства теоремы 6.36. ?
358
Гл. 6. Уравнения иад конечными полями
Ясно, что М (.ddn) < (dx - 1)... (dn - 1). ЧислоМ {d*,..., ..., dn) может
равняться нулю, например, если одно из чисел взаимно просто со всеми
остальными. Чтобы это доказать, пред* положим для определенности, что ИОД
(йъ dt) -- 1 при всех i - 2, п. Если для некоторого л-набора (/lt ...,
jn) ? z%
где 1 < h < dt - 1 для 1 < i < л, имеем (/хЛУ т 0*пМ") - - m ? Z, то /jdg
... dn + /dx - ... dn для некоторого / ?
поэтому ... dn -ни 0 (mod dx). Но НОД (dlt dg ... dn) - 1, значит, j± = 0
(modd^, что невозможно. Из теоремы 6.36 видно, что если М (d^ ..., dn) -
0, то ДГ = .
Общую формулу для М (d1? ..., dn) можно получить следующим образом.
Положим D = НОК (d1( ..., dn) и е (t) - е2я^у где t ? R; заметим, что
d~~\
D
fc=0
/п
dn.
1, есл и
А
di
/п
О б противном случае.
Поэтому
/И (di, dn) = ^ 2 IT 2 * (Л
D- 1
7i=m
;
и
ft=0
A
di
ft * 4
?))
?>
о-I fdi~s
Ш
A=0 \/,=I
O-I 1_ ^
5"
ft=0
(-i)n
* f *
+ 2 HD"

Чп-1
in 1
^/n
*
ft
d
n
1
2 <>-i)
dt - t
$
П 2
r-1
ft
". dt
s
Поскольку для d ? 8\f имеет место соотношение
d-i
S • (' 4)
7=o
d, если /г ~ 0 (mod d), О в противном случае,
§ 3. Диагональные уравнения
359
то произведение в последнем выражении для М (dlt dn) равно di ... dir,
если h делится на НОК (Фг, d?r) - Д, ... t и равно О
в противном случае. Поэтому At (di, dn) =
= (-1)"
I
Z)
d-i re
-r
dr ... d?
r
h-0
/i - O/mod Д.
I *l-'-
C)
n
r=I
h
/1=0 h - O^mod Д;-
¦' *r)
Самая внутренняя сумма равна D/HOK (dt t .. , dir), так что
П
d * *•*(?>
M (dl, ...,dn) = (-!)" + У (-P- У (6.12)
r=? С С
Теперь мы укажем еще один подход к оценке числа N =
~ N (ЩХ11 + ... 4- а хпп - Ь) решений диагонального уравне-ния (6.10) в
Fq, опирающийся на суммы Гаусса. Согласно (5.5),
n--j- 2 2х^а,,сА*(ь)>
с\' • X
где во внутренней сумме х пробегает все аддитивные характеры поля Tq,
Меняя порядок суммирования и отделяя часть, соответствующую тривиальному
характеру Хо> получим
N 7"2х 2 х(°Л1) - г{апс"п) =
х сг • ? Fg
360
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Применив теперь теорему 5.30, получим
N
,п-\
1
Я
/<Д~ 1
У X Ф) У (Oi) G {Л['. х)
ш
* * *
?
/,-1
:\И.
1г.Щ
¦'>т
ilr (ап) О (Хп*, эс) I = д"~' -I

1
я
<*1-1
ч?|
2j"'
/1=1
... ^ я!1 (at)... Я"п (пД ^ jj(&)G (Л.11, х) ... о (Я*?\ х)
Ггг^
АЩ
где Яь как и раньше, обозначает мультипликативным характер порйдка di -
НОД (&ь q - 1) поля $Д. Длй внутренней суммы,, используй обозначений из
теоремы 5.7 и применяй теорему 5.12 (1), получим
¦Щ
':М
2 X(b)G(k?, x)-G№, х)
Хе
Г '*2

2 Xa(b)G(X[1,J^)...G(Xin,Xa) =
a?f*
G(x[\ Xi) ... G(^n> Xi) S XfeW^i1^)... *"n(a)
S€F?
G(x{\ Xi)... G(%i\ Xi) G (я{*... il*t 26),
/ ." ,v<0 /•*&
так что
':(¦
N^=q
tt1
i
Я
d t-1 ! . ,
^ *-) - ФЯ х"")с0Я- *").
1?3
• A?
(6.13)
Длй случай b = 0 можно применить (5.14); тогда
М V Ga'1 4 ',f"/
я
N = q
П-t
+ (i
O':
V (6.M)
/n) € r
где T - то же множество, что и в теореме 6.33. Полученную в той теореме
формулу теперь можно вывести нз (6.14), используй теорему 5.12(1) и
формулы (5.42) и (5.44). Длй случай Ьф О формулу (6.13) можно
преобразовать в формулу из теоремы 6.34 применением теоремы 5.12 (i) и
результата упр. 5.34.
Диагональное уравнение (6.10) можно рассматривать также как уравнение над
некоторым конечным расширением полй Fg,
щ
щ
.'.Л

§ 3. Диагональные уравнения
36!
а не над самим Fff, как было до сих пор. Пусть Е - Fc"t, где
s С N. ~ некоторое расширение поля Fg; обозначим через Ns число решений в
Еп диагонального уравнения (6.10). Попытаемся найти зависимость Ns от s в
предположении, что все показатели kt делят число q - 1.
Для случая Ь = 0 можно получить значение N8 из (6.14). Если Pi -
канонический аддитивный характер поля Е, то каждый характер %а. в (6.14)
должен быть заменен на Но для а ? Тд
мы, согласно (5.7), имеем ра (р) = %а (Тг^ (р)) при всех р ? ?,
так что ра - (х,,)', где (Ха)' - характер, получаемый поднятием характера
ум поля Fg до Е (ср. с рассуждением, предшествующим теореме 5.14). Кроме
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed