Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 152

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 371 >> Следующая

на характеристику р поля fq при условии, что
i+...+ >>i, (6.16)
d% dn
где di = НОД (ku q - 1) для t - 1, п.
Доказательство. Пусть N - число решений уравнения (6.10),
и пусть N - то же число Nt но рассматриваемое как элемент поля Fg.
Положим
к k
G(xlt ..., хп) = ао + ад1 + *' * +апхпп, где а0 = -Ь.
Так как N является также числом решений уравнения G хп) = 0 в FJ, то
N= ? (1 - G(clt спу~') =
CV - • •" Сп € Fg
1 .
Yi ° (ci fn)"
k ^ ? f1 ^
J] (a0 + а1^г -i------------------------------i- anCnnY~l
ci cn € F if
ci' • ¦ ¦ * cn € Fg *0' *n*°
Л+Л+1 * * -*
(? - 1 )1 nh°nkl Aftl
A*! Ail ... An I 0 1 *" *"
1)! -
• * * "л
Ag! Ail ... A^l
A|_t ¦ • ¦ i
МЛН-
a>( 2 -ЛЛ 2
I " *
¦l € Fg ' cn € Fg
В силу леммы 6.3 во внимание следует принимать лишь те члеиы внешней
суммы, в которых hL положительны и kth{ делятся на Я - 1 для всех г, 1 <;
i <; п. Но последнее условие эквивалентно делимости hi на (q- 1 )/d(.
Поэтому
* - 2 wV.llb-- a"n' <6Л7)
А|_" .... ftn) ? н
где через И обозначено множество (п + 1)-наборов (Л0, /гх, ...,,Л") Целых
чисел, для которых h0 + ht + ... + hn = g - 1, h0 ^ 0

366
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
• •Ла.*
Ъш-
г|
и для каждого г, 1 -< i А п, число А* является положительным | кратным
числа - 1)/^г*
Теперь допустим, что выполняется неравенство (6.16). Тогда если (/^,/н,
..., hn) ? Я, то/ij так что
'"S
(<7 - l)/dt для всех г, 1 < г <
^0 Г ^1 ~Т"
Я

Я
1
А
>q - 1,
13
,Afs
' Hi
i
.•si.i
i <
а это невозможно. Таким образом, множество Я пусто, так чт#§
Я = 0 на основании (6.17), а это означает, что число Я делитсйд! на р.
Если kx - ... = kn - d и d - делитель числа q - 1, то (6.16) получаем
неравенство п > d> и мы приходим к частном^ случаю теоремы 6.5.
••< t
6.42. Теорема. Пусть р - характеристика поля F~g, ku ,Ш kn - заданные
натуральные числа, аг, ап € Fj? h € F,
числя dj = НОД (&?-,
1) делят р 1 1
^ А
1 для t = 1, п, причеЩ
• *
1.
Тогда диагональное уравнение (6.10) с показателями степени kn имеет хотя
бы одно решение в 1FJ.
Доказательство. Применим (6.17) и заметим, что при условйЦ (1 jdi) ~Ь ...
+ (1 jdn) = 1 множество Я состоит из единственной (п + 1)-набора (0, hu
..., /гп), где ht = (q - 1 )jdt для 1 < i < пШ Поэтому
•4
Я = (-1)"+*
(?-!)* А
ai
/ti J ... J
¦I #
Дй*
¦ '-A
*• J
.A
Mt
Так как q
1
pf для некоторого г ? N, то
= (p - 1) pr~l + (p - 1) pr~2 + ... -f (p - I)
есть представление числа q
EP ((Я-m
1 в р-ичной системе, так что 1 - г (р - 1) q - I
X^f • r*S . :к'Уч 'S ' ^
'. у Ay.
V:?;T

1
I
щ -Ш
".W
*5.'.
согласно лемме 6.39. Поскольку числа dt делят р - 1, то представление
числа hi = (q - 1 )Jdt в р-ичной системе имеет внд
*А|=?
1
|Г-1
i
1
I
•ад
УМ
так что
ЕР !) -
hi - г (р - 1}А о - 1
Ы
р- 1
. Ах
i
;.s>
'=й
• •*"* !* /I
. с&.
*•?<
•sA:
¦:-5й
§ 3, Диагональные уравнения
367
Из равенства (I/dx) + ... + (l/dn) = 1 тогда следует, что
Ер (М 4~ * * * + №"!) = ?р ((7 ~ 00"
а это означает, что число (д- ... hn\ не делится_на р.
Но поскольку все at отличны от 0, то это значит, что N Ф О, а
следовательно, N > 0. ?
В некоторых случаях этот метод удается применить и к уравнениям, ие
являющимся диагональными. Если в следующей теореме многочлен g является
постоянным, то соответствующий результат будет следствием теоремы 6.42.
6.43. Теорема. Пусть р - характеристика поля F9, k - положительный
делитель числа р - 1 и аи ..., ak ? FJ, Если g [хх, ..xh ] -многочлен
степени, меньшей чем то
уравнение
агх1 akxt -- g (xit
L
имеет no крайней мере одно решение в fQ.
Доказательство. Поступим так же, как при доказательстве теоремы 6.41,
используя те же обозначения и функцию G вида
^ (-^li **¦•" ~ -|- - * - -|- a^Xk g(xi* *"¦¦"
Тогда
^ ~ - * * • + - ?•*** 1 ~
*1* ¦ ¦¦ * ch€ F?
lijhtt hhI ck))h*^
cl* ^1*
чС а' ЛЛ г1*1* -
^i i*i Cj "*" Cft j~*"
/ц,! /ц! ...%! * l' ai
ftp* ftl# * *. *
>. S •-* cfc)*ci 1 ... c*fc. ¦
cv *¦ ¦* F^
Если &0 > 0, to
ho deg (g) -{- kht+ ... + khh < к (hQ + hx + ... + hh) *= & (9 ~ 1),
368 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
<г1П
/ ,vr>
и из леммы 6.4 следует, что внутренняя сумма равна 0, так ч-в нашей сумме
остаются лишь члены, соответствующие h0 ==
¦К
2 (2 *4 -(2
h 4eF" ' ЧбГ,
Согласно лемме 6.3, ненулевой член может получиться лишь в том случае,
если для каждого /, 1 <; i к, натуральное число h$ делится на h = (q - 1
)}k. Поскольку hx -f- ... + ft* - q - 1, то это возможно лишь в случае=
... = hk ft. Таким образом;
¦¦.I
N = (-l)t+1 ... ак)к.
'4.8*
Как и в доказательстве теоремы 6.42, показываем, что число - l)!/ft!A не
делится на р. Это означает, что N Ф 0, а значит,
.4!
VII
М> 0.
?
6.44. Следствие. Если к - положительный делитель числа р - 1, где р -
простое число, и (Xj), fk (хк) - многочлены степени к над конечным полем
(Ff? характеристики р, то урш~
ш

Л:
'ft
* uS

пение
fi fe) + + fk (я*) = о
.А .. >>\ • •
. ;:;д?
• Cl: ' ^
имеет по крайней мере одно решение в jFfl.
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed