Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 144

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 371 >> Следующая

знатная q ~ числа решений в F? уравнения f (хь хп) = 0 {где f - многочлен
положительной степени <. d от п переменных ^ над полем F9) равно qn~l -
qn~2.
^¦т
Доказательство. Вводя обозначения Ь = (61( bn) ? F? Ц с = (<?!, сп) ? F?>
можно написать
rt .-r7fj
1 "Щ
Е м (If - Е / Е IV = ЕЕ Si
/end[c^|Fj b€SF" c?ip"
?<vn?
; (cj^o / / (ьj-о f <c)-o
= У T 1
1 -
b, c^pj /€°rf
9 / (b)=f {e)=0
Если b = с, то из доказательства теоремы 6.16 мы видели, что внутренняя
сумма принимает значение д<м<о-ь если же Ь Ф с, то равенства / (Ь) = /
(с) = 0 приводят к системе из двух линейных уравнений ранга 2
относительно коэффициентов много-
'.f
¦т
•5?
S. "гС5
¦Щ
х*?
¦4
л
§ 2. Квадратичные формы
341
члена f. Указанная система имеет q(r) <rf>"2 решений. Отсюда следует, что
S N(ff= ? |?М<Г1+ Е =
fead сег" ь,
Ь Ф с
= qn | Qd | г' + Чп (Q" ~ 1) I &<г I Ч~2 =
= |Qrf| (qb'-z + q"-1 -qn~2).
Применяя полученное равенство и теорему 6.16, получаем
? (АГ (/) - q"-¦)" = ? ЛГ Ш2 - V1 Е N (/) + ? 1 =
/?od
Qd | (^2n_2 + яп~{ - ?л~2) -
- 2qn~l I Qd I "l -h ?2n"21 Pd | =
ft* I (<T1 - <T2)>
н тем самым результат установлен. ?
Таким образом, среднее значение квадратичного отклонения (N (f) - ^"-1)2
равно qn~1 - qn~2. Можно поэтому ожидать, что в большинстве случаев
величина | N (f) - ф~х\ имеет порядок q(n~])i2. В последующих параграфах
мы встретимся с примерами, подтверждающими такое предположение.
f
§ 2. Квадратичные формы
Квадратичной формой (от п переменных) над полем называется однородный
многочлен f степени 2 из кольца [х1г ..., хп ) или нулевой многочлен.
Вели число q нечетно (а этот случай представляет особый интерес), то
смешанные члены bijxtxj (1 < i <
< j < п) можно представить в виде -i- Ьцх^ + (tm) buXjXit что
приводит к представлению
П
f (Xj,, • * *, Хп) = &tjXiXjt ГДе GL$j #д*,
i, у= 1
Для любой квадратичной формы f иад fq. Тогда мы сопоставляем с f
квадратную матрицу порядка п
А = (аи)
#11 #12 #21 #22
* * 1
2^ * * * й
342 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Hi
3
¦S4
Матрица А называется матрицей коэффициентов квадратичной! формы / (или
просто матрицей квадратичной формы f). Если ? транспонированную к матрице
М матрицу обозначить символом АГ, то в данном случае окажется, что АТ А,
т. е. ма- | трнца А симметрическая. Если через х обозначить вектор-стол*
1 бец из переменных хъ хп, то легко видеть,что квадратичная форма f
представляется в виде матрицы хТАх (т. е. f (хт) - хтЛх). I
\'к
6.18. Пример. Рассмотрим квадратичную форму f (хиХг) ~ * - 2xt + xLx^ ~j-
х\ от двух переменных (так называемую бинар ную квадратичную форму) над
полем F&. Матрица коэффициентовз квадратичной формы f равна Ч
(2 а
К\
А
М
\3 1
::Р1
%
И
п2 3\ [хх
хгАх - (х\, х2) L ' 1 I = 2х\ -f- х\х2 + х\ = / (хи х2). ?
\ О 1 1 \ X о /
V/Г.У

к.;;**
X < -:е$й
¦ I
¦•^11
Если f - квадратичная форма над полем Fg и b ? Fg,
для числа решений уравнения / (згь - b в fj удается ycTa^f
повить явную формулу. Для получения этой формулы мы сначал|§| с помощью
линейного преобразования переменных приведем! квадратичную форму f к
простейшему виду. Линейное преобраз<зи|^ вание переменных зададим
матричным равенством х = Су, где С-Щ квадратная матрица порядка п над Fg,
н у - вектор-столбец из новых переменных yit ...,уп. Если матрица С
невырожденная то соответствующее линейное преобразование тоже называется
¦Ж
невырожденным.
ы-'П ГШ
6.19. Определение. Две квадратичные формы fug над прЫ-St
из вольным фиксированным конечным полем fQ называются эквифф
Я "¦ :фр
валентными, если f может быть переведена в g с помощью невырож* й
денного линейного преобразования переменных. If
дг?
Нетрудно убедиться в том, что эквивалентность квадратичных ||
форм действительно задает отношение эквивалентности (т. е.

¦Ж
обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности).
Кроме того, еслн квадратичные формы f и g эквивалентны, то для любого
элемента Ъ С Fg уравнения f (хг, ..., хп) -
Ь и g (х\, ..., хп) - b имеют одно и то же число решений в F^
¦.'¦т
п. • ;Ы
(ввиду того, что матрицу С можно использовать для задания взаимно
однозначного соответствия между векторами-решениями этих двух уравнений).
При нечетном числе q матрицы коэффициентов А м В двух эквивалентных
квадратичных форм fug над Fg связаны соотношением В - СТ АС, где
невырожденная
'Ч.
¦1М
W.
¦ -й
Ф-'S-
5S •
щ
§ 2. Квадратичные формы
343
матрица С задает соответствующее линейное преобразование переменных (так
как f (хт) = хМх = (Су)т А (Су) - ут (СТАС) у =
-yTSy-?(yT)).
Сначала мы изучим подробнее случай, когда число q нечетно (т. е. поле Fq
имеет характеристику р > 2). Покажем, что каждая квадратичная форма над
эквивалентна некоторой диагональной квадратичной форме й\х\ + ...+ Onxl
над Будем пользоваться следующей терминологией: квадратичная форма f над
полем Fg представляет элемент а С Fg" если уравнение
f (хи х7[) = а имеет хотя бы одно решение в
6.20. Лемма. Если q нечетно и квадратичная форма от п переменных f С Fg
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed