Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 143

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 371 >> Следующая

Случай /. Многочлен f (хъ ..., хп) делится на х± - с при некотором с ?
Тогда
f (*ь Хп) = (хг - с) g (хъ ..., xn),
где g - ненулевой многочлен степени, равной d - 1. Используя
предположение индукции и элементарный подсчет, легко показать, что число
N решений уравнения f (xlt ..., хД • 0, лежащих
в jfj, не превосходит числа qn~{ + (d - 1) дп~г - d(f~l.
Случай 2. Пусть многочлен Д (xlt ..., хД не делится на х* - с ни при
каком с ? Fq- Тогда f (с, х3, ..., хД - ненулевой многочлен от п -- 1
переменных степени, не превосходящей df для любого г ? По предположению
индукции уравнение f (с, х2,
хД = 0 имеет не более d(f~2 решений в fj"1. Но поскольку существует q
различных выборов элемента с ? Fq* то число N решений уравнения f (xit
= 0 из F? не превышает q-dqn~2
- d#n_1.
6.14. Пример. Верхняя граница полученная в теорем!
6.13, может представлять интерес лишь в случае, когда d < q, В этом
случае граница может действительно достигаться. Рассмотрим, например,
многочлен
/ (Xj, хД (Xj Ci) (Xj С2) (Xj ^Д *
I
ж
Mi
/Vd-ji
1 "If?
щ
j
где Cj, c2, ..., crf - различные элементы поля Fq* Степень многочлена f
равна d, и легко видеть, что уравнение f (хъ ..., хп) =
имеет ровно dxf1^ решений в fj*
В соответствии с определением 1.72 многочлен f называете^ однородным
многочленол1 (или формой), если все его члены имеюТ§ одну и ту же
степень. Для такого многочлена положительной ст!|} пени уравнение / (хь
..., хД = 0 всегда имеет тривиальное решение (0, 0). Рассматривая
нетривиальные решения (если они
имеются), можно для однородных многочленов получить небольшое снижение
верхней границы, найденной в теореме 6.13.
6.15. Теорема. Пусть f ? Fq Uy, ..., хп 3 - однородный, многочлен степени
d 1. Тогда уравнение f (хь ..., хД - 0 имеет
не более d (qn~l - l) нетривиальных решений в F<r
Доказательство. Если либо d = 1, либо п = 1, то результат очевиден.
Продолжим доказательство двойной индукцией, как и при доказательстве
теоремы 6.13. Допустим, что п > 1, d > 1 и что результат верен как для
непостоянных однородных многочленов не более чем от п переменных степени,
меньшей чем d,
ш
¦ ftp,
;&i
Р
ft
¦М
< V-
§ 1. Элементарные результаты о числе решений
339
так и для непостоянных однородных многочленов менее чем от п переменных
степени, не превышающей d. Возьмем однородный многочлен / (хъ ..., хп)
степени d от п переменных и рассмотрим два случая.
Случай L Пусть многочлен f (хи хп) делится на хх. Тогда
f (хи ..., хп) - xyg (хи ..., хп),
где g - непостоянный однородный многочлен степени, равной d - 1 •
Используя предположение индукции и элементарный подсчет, легко
обнаружить, что число нетривиальных решений уравнения f (хи - 0
в не превосходит чнсла
(qn~l - I) -|- (d - I) (дп~1 - 1) = d (дп~{ - 1).
*
Случай 2. Многочлен f (хъ ...txn) не делится на хг. Тогда [(с, х2,
является многочленом от п- 1 переменных сте-
пени d для любого с ? Fj, так что по теореме 6.13 уравнение ( (лгь хп) =
0 имеет не более (д- 1) dqn~2 решений (сь
сп) С ?д, Для которых сх Ф 0. Кроме того, /(0, х21 хп) является
однородным многочленом степени d от п - 1 переменных, так что нз
предположения индукции вытекает, что уравнение / (хь х") - 0 имеет не
более d (дп~2 - 1) нетривиальных решений вида (0, сп) ? В итоге
число нетривиальных
решений уравнения / (хь хп) = 0 в FJ не превышает числа
(q- I) dqn~2 ф d (qn~2 - 1) - 1). ?
Исследуем теперь вопрос о среднем числе решений полиномиального
уравнения. Для натурального числа d пусть - множество всех многочленов f
? [хи степень которых не
превосходит d. Пусть ы (d) - число п-наборов (i1( in) неотри-
цательных целых чисел, для которых + ...+ in < d. Тогда мощность |Qrf|
множества Qd равна Для / ? Qd обозначим
через N (f) число решений уравнения f (xit хп) = 0 в
6.16. Теорема. В обозначениях, введенных выше, имеет место равенство
w
Другими словами, среднее число решений в F? уравнения f (хь ...
Хп) = 0 (где { - многочлен положительной степени d от п переменных над
полем F?) равно дп~К
22*
340 Гл. 0. Уравнения над конечными полями
*
Доказательство. Можно написать
VI , V V 1
^ ...............'">€f; (v.... ,n)eF; ^
/(cr V... ^n)^0 ( l'
Для n-набора (сь ..., cn) ? F? все многочлены степени <! d
•<v
обладающие свойством f (clt ..., cn) = 0, можно получить, выбирая
произвольно коэффициенты а( t , 0 < г, + ...+ in < d,
X * /I
а затем определяя свободный член a0t 0 так, чтобы / (clt .?-п)~
= 0. Таким образом, число многочленов / ? удовлетворяющих условию f (clt
сп} = 0, равно q(r) Поэтому
? N if) = qnq(r) = | Qd |
•5fe
Чйя
i
'vK(r)
и искомый результат установлен. Q
Полиномиальное уравнение от п переменных имеет, таким об
разом, в среднем qn~l решений в FJ. Найдем теперь среднее квн дратичиое
отклонение от найденного среднего значения.
6Л7, Теорема. В обозначениях, введенных выше, имеет место, равенство
1 ? (N (f) - = qn~t - qn-%t

удя
/?Urf ^
¦А
¦-Vjff
Другими словами, среднее квадратичное отклонение от среднего
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed