Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
#22^2 + УчУъ ф ёъ {уУз1 • *•" Уп)'
Пусть ЬХ1 обозначает теперь коэффициент при у\ в g%\ тогда, применив
невырожденное линейное преобразование переменных
Уг " (ай1 Ьц),/2 г, + z,v
Уъ - zt для i Ф 2,
получим эквивалентную квадратичную форму, в которой коэффициент при г*
окажется равным 0.
Теперь пусть квадратичная форма f задана равенством (6.9), причем аа = 0.
Поскольку f невырожденна, все av не могут быть равными нулю, так что
можно предположить, что а12 Ф 0. Тогда невырожденное линейное
преобразование переменных
(f/2 4- (r)1зУз 4" ' * ' 4~ атУп)>
Xt ~ Уь для i фх 2
352
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
". дНяицу?
переводит f в квадратичную форму вида
У\Уг + Е Сцу,у,-,
которая в свою очередь с помощью невырожденного линеиногд преобразования
переменных
У1 ~ Z\ + С22%2 + ... + CvnZju 4
tjt - z-L для i ф 1 ;;;
' \
переводится в квадратичную форму 2Т2Й + g (z3, . ..,zn), где очевидно, -
невырожденная квадратичная форма.
ж
т
6.30. Теорема. Пусть f (xlt ..., хп) - невырожденная квадрт-
Ш.
тичная форма от п переменных над конечным полем F" харалтт ристики 2.
Если число п нечетно, то f эквивалентна квадратичной форме
•A'i :>V
<>*•
Зл4
f " t
Х%
\М
sW'!
Лели же я четно, mo f эквивалентна либо квадратичной
хгхг
"h ^3^4 "h * ¦ ¦ ~f~ либо квадратичной форме
V* V I
"till
. Щ
^1-^2 Ь #3-^4
-4.,.
I " 1
где а С Fg, причем Тгр (а)
Xn-iXn ь Хп-1
1.
2
ЯХп>
-чь-у.' ¦*
*"! "
¦ V- [\яцш
. -> .4Q К
Доказательство. Если я нечетно, то, применяя и
•Л- .i>Vj?]M?
' ,..5lb,'. ЙМ"Л-"
S •! > .
по я и теорему 6.29, легко показать, что f эквивалентна квадра^а#йе1
. *¦ V:*.- ^ 4
тичной форме вида хгх2 + х3х4 + ... + xn_2xn_t + ахп, где а С FJ. Заменяя
теперь хп на arq^xn, получаем требуемую дратичкую форму.
Если же я четно, то, применяя индукцию по я и лемму 6. можно показать,
что f эквивалентна квадратичной форме в
"•' я.ы.
&>
Ш
U4-
тш
'г^ЩШ
и Щ
j №
XiX% -|~ X3Х4 -f- • ¦ • ~\- Xn-s^n - 2 "b 6 Xn-i CXn- i xn -f- dXn*
где b, c,d С Fg. В силу невырожденности f элемент с должен
-•'ЙХ"
№
отличен от 0, иначе равенство
йЛ-i + dx\
¦ъм
• : * 's
позволило бы привести f к эквивалентной квадратичной форме Ш меньшего,
чем я, числа переменных. Если b = 0, то квадратична^ форма
Л*Г.
> • ( А
.Ш
схп^ххп j- dXfi - (схп_х dXji'j х
п
эквивалентна xn^xxnf и мы приходим к требуемому виду. Если Ъ Ф 0? то,
заменяя хп_х на b-*f2xn_x и хп на №?2с-ххп> получаЩ
§ 2. Квадратичные формы
353
что квадратичная форма bxn~г 4 схп~\хп 4 dx;* эквивалентна
xn-i + 4- axl для некоторого а ? Fg. Еслн при этом мно-
гочлен х2 4 х; 4 а приводим в кольце fq U], то
х2 4 х 4 а ~ (х 4 с*) (я 4 ся)
для некоторых с1( с2 € FV 0ТКУДа
Хп-1 Хп-j Хп -|(tm) (IXп = (Хп-i ?ДХЛ) (хп-i C24t)"
что эквивалентно квадратичной форме хп_гхп. Еслн же многочлен х3 + я 4 а
неприводим в Fg Ul, то на основании следствия 3.79 получаем, что Тгр (а)
- 1, и результат полностью установлен. ?
Ввиду инвариантности числа N (f (xlt хп) - Ь) относительно перехода к
эквивалентной f квадратичной форме можно теперь сосредоточить внимание на
квадратичных формах тех специальных типов, которые указаны в теореме
6.30. При этом мы снова воспользуемся функцией v (ж), введенной
определением 6.22.
6.31. Лемма. Пусть а $ Fg, где Я четно, причем Тгр^ (а) = = 1, и b ? fq.
Тогда
N (x'i -f адх2 4 ах\ - b) = q - v (b).
Доказательство. Так как в силу следствия 3.79 многочлен х2 4 х 4 а
неприводим в кольце Fg U1, то
х2 4 х 4 а - {х 4 а) (х 4 а?),
где а ? Fg*, а ^ Fg, так что
/ (*ь *а) = х\ 4 х,х2 4 ах\ = (ад -f- ах2) (хд 4 Лд)*
Поэтому для произвольной упорядоченной пары (сх, с2) ? Fg получаем
f (п< ^з) " (п 4 4 ^с2) ~ (и "h ctc2) (сд 4 ас2)я - (<д 4 KCg)^1.
Ввиду того что (1, а} - базис поля Fg* (как векторного пространства) над
полем Fg, то между упорядоченными парами (П, с2) ? F5 и элементами у - сг
4 <хс2 ? F4 можно установить взаимно однозначное соответствие. Поэтому
число N (/ (ад, хд) = ~ Ь) совпадает с числом элементов у ? Fg*, для
которых 4+1 = = Ь. При Ъ - 0 получаем
N (f (xlt хд) - 0) = 1 = q - v (0).
Если же b Ф 0, то поскольку Fg* - циклическая группа порядка ф - 1 и
?>(<7a-i)/(g+i) = Ьл~~х = 1, существует q 4 1 элементов у ? Fg*" таких,
что 4+1 = Ь. Это означает, что N (f (ад, х2) = b) ~ q 4 1 = q - v (b).
?
23 Зак. 222
354
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
у;
м
6.32. Теорема. Пусть рч - конечное поле характеристики и пусть b ? Fg.
Тогда для нечетного числа п число решена уравнения
т
т
№
Sk4>
SЯ*
V':>.
*1*2 4 *3*4 4 ' ' ' 4 *П-2*П-1 4 Хп -- Ь
&
¦ж
в Fg ровно qn 1. Для четного п число решений уравнения
п-1
' *#5 •>М
^,1
•к.
¦^1^2 ^3^4 F ¦ *~1~
' ;Й
4'?
ш
в Fg разно q
. -fit* ¦ ''^4
творяющего условию Trjp (а)
I? (b} р(п 2)/2. Для четного пи a (j Fg, ydoem^f
- 1, чшгло решений уравнения
¦'Ш
Ш
xlX% Т" *3*4 Ч- ' * * "Т^ *n-t*n
-i Ч~ (IXn - ^
S-; * 7-V
/<У
¦Уд
!•а?
в Fg равно qn 1 - v (b) q'
Доказательство. Так как уравнение х8 решение (в силу теоремы 2.21) в поле
