Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
того, каждый характер порядка k4 в (6.14) должен быть заменен
мультипликативным характером порядка kt) поля Е. Но поскольку функция
нормы (см. 'определение 2.27) отображает Е* на FJ (по теореме 2.28 (ii)),
то (надо учесть формулу ФО' (Р) " h (Ne/f4 (Р)), Р € ?*) поднятый
характер (Я*)'
имеет тот же порядок, что и Xit и, таким образом, характер в (6.14) можно
заменить на (Я*)'. Поэтому, применяя (6.14) и теорему 5.14, получаем
= (<Г-'У + (-1)" ? (<~О" 0 Ха,) ... О (>.Е Ха"))'-
(/i* "¦*in) ? т
-(-'Г ? (т(_I)"G (х''- *•*) - 0 (*•*' *•"))'•
(/х* * /п) 6 Т
Таким образом, эта сумма имеет вид
= -fvj-ffl?--------fflj,
(6.15)
где алгебраические числа vu ...,vit со" не зависят от s
1? ¦ * * 1
и удовлетворяют условиям | v;, | = tf1^2 и | <о, | = для некоторых mh, nj
? z.
362
Гл. 6. Уравнения иад конечными полями
Для Ь Ф 0 значение М3 можно получить из (6.13). Те же рассуждения, что и
выше, приводят к формуле
Н' = t <*-¦, + _L 2 ...
4 /.=1 la^
хо((х,''... Л'")', (Хь)') =
^1 - 1 ^71~^
= +"<-" ?... 2°(х;1>ч)5-
4 <>=' fn^
G(a[' ... Aj",fo)* =
1
= (<7"-l)s + (-l)'1+l J]-
- ? (ф(-")"+1 G(^ G (*i", x">
'nel
хфУ.Д'", *6))\
которая снова имеет вид (6.15).
Оценки, полученные в теоремах 6.36 и 6.37, можно использовать для
доказательства существования решений диагональных уравнений (по крайней
мере при достаточно больших д).
6.38. Пример. Пусть к - заданное натуральное число. Покажем, что для
каждого конечного поля с достаточно большим q, скажем
q > ф [(к - 1) (к - 2) -[- Vk(k- 1)(й*~5А + 8)]г,
каждый элемент b ? fq может быть представлен в виде суммы двух &-х
степеней элементов этого поля. Поскольку случай 6 = 0 тривиален,
рассмотрим случай Ь Ф 0, и пусть N - число решений уравнения х\ + х\ - Ь
в FJ. При d - НОД (k, q - 1) из теоремы 6.37 следует, что
| N - d | < [(rf - l)2 - (1 - q-W) M (d, d)}
Теперь M (4, d) = d - 1 (согласно (6.12) или исходя из определения числа
М), поэтому с учетом того, что d -< к, получаем
| N - д К l(d - 1)* - (1 - д~^2) (d- 1)) -
kn-1
2
G
ф
xl1
(X*.)'
G
(к)'К
§ 3, Диагональные уравнения
363
и, в частности,
N > ц - (к - 1) (k - 2) - к + I.
Теперь для достижения нашей цели достаточно лишь найти число и0 ? R,
такое, чтобы при q > и0 правая часть этого неравенства была положительна.
В качестве п0 можно, например, взять иь =
= tit W t0 - наибольший из корней квадратного многочлена fa - (k - 1) (k
- 2) t - k -f 1. Относительно случая k - 2 см. также замечание 6.25.
?
Некоторые сведения о числе решений диагональных уравнений могут быть
получены и без использования тригонометрических сумм (в дальнейшем мы
приведем несколько таких примеров). При таком подходе часто используются
арифметические свойства полиномиальных коэффициентов; эти свойства можно
вывести из приводимой ниже леммы 6.39. В качестве побочного продукта
этого вспомогательного результата мы получим утверждение, что все
полиномиальные коэффициенты являются целыми числами (что можно было бы
доказать также комбинаторным путем). Для простого числа р обозначим через
Ер (г) наибольший целый показатель /, такой, что pi делнт число г ? N.
Через будем обозначать наибольшее целое число, не превосходящее числа
t ? R.
6.39. Лемма. Для каждого целого неотрицательного числа т и каждого
простого числа р имеет место формула
оо
т
М = 2 |4J
Р~1 '
1^1
где s - сумма коэффициентов р-ичного разложения числа т.
Доказательство. Если р1 > т, то [_m/plJ = 0, так что указанный в формуле
ряд содержит не более конечного числа ненулевых членов. Первое равенство
справедливо для 0! - I. Для натурального числа h
I JL I __ I h~~ 1 I - ( если pl Делит
Lp* J Lp*J |q b противном случае.
Отсюда для т ^ 1 получаем
т т оо
Ер (mi) = Ер (1.2... т) = ?р (й) = 2 2 (|4 J L
,1
А = 1 /1=1 1 = 1
(Х>
J) - 2 Ш ¦
1-\ /1=1 ' ' 1=1
364 Гл. 6, Уравнения над конечными полями
л
я
¦6 -I
Для доказательства второго равенства представим число т в р-ичной
системе: т = Ьири + Ьи^ри~1 + ... + 60, где 0 < bt < р для 0 < i и. Тогда
.-<*Ч <
I
л
•
•у$ . . 6 "К
|_-J ^иРи 1 Ьц-\ри 2 + * * ¦ "Г &2р + Ьъ
•
о!
,1
V'.-'I
s-
'<*Х
\Jf] = ^Рн~й -f Vip"-3 -j [- ьъ
."'-А
:'-:й
ш - *¦
¦ -т
¦ ¦ щ
ф
.Ш
и |m/p*J - 0 для t > и. Складывая эти равенства, получим
•i$J
*<•"
00
:т
i-1
ITj (^uPU ~Ь г • * * "Г "Ь ^0
КЪ?!
Р-
bu bu_i ~ ¦ ¦ • b± bQ)
:а*
/f
m - s
?I
I
6.40. Следствие. Если гщ, mb .... mn - неотрицательные целые числа и т =
т0 + тх -f ... -f тп, то полиномиальный
фициент
• • 'Щ
"Ш
ж
.ч-sa
i:' мС
ml
I.Viv.J
•>Л
т01 т*! тп 1
'Щ
;.:VS8;
является целым числом.
Доказательство. Достаточно показать, что для каждого про
1 Хф?
'V: ,'чг
!*:й1
знаменатель, делит и числитель 1
Применяя неравенство
Uo + ^i+ ••• + > IAJ + IAJ + + IAJ
f S',
A->
и лемму 8.39, действительно получаем
СО 00
e."-2L7J>2(L?J+L?J+-+L7J)-
t=i r i=1
(meO Ep (^i*) Ч- ' *' '1~ imn\)
= Bp(m0! mx! ... m"!). ?
§ 3. Диагональные уравнения
365
Лрт
6.41. Теорема. Число решений в fq диагонального уравнения (6.10) делится
