Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
случай, когда v (х, р) - хбД Заметим сначала, что при 0 < п < р*
биномиальный коэффициент
/ с
Р П
Р
В
п
р
п
S
-1 ]
о
* *•]
делится на р. Таким образом, ,
Е<"> (хА =
р
\П j
ХР$~П = О
в поле характеристики р. Поэтому, применяя лемму 6.47 с много членами Д
(х) = хД Д (х) = ... = /W (х) = хрД получим
Я<"> (А) -
Г
X/-я
и
'*• ik"**
f
' Tst
4
¦W
.M
Такой же результат получится, если вычислить п-ю частную npo^j изводную
многочлена v (х, у) по х и затем произвести подстановку
у - хрД
Следующий результат показывает, что гиперпроизводные яя ляются подходящим
инструментом для определения кратностй| корней.
6.51, Лемма. Пусть / - многочлен над произвольным полем /Щ§[ Если элемент
с С К является общим корнем ?(") ф для п - 0, 1. М - 1, то этот элемент
корнем многочлена j кратности не менее М,
Доказательство. Пусть / (х) - а0 + ах (х - с) -[ ... + ad (х - c)d. Из
следствия 6.48 получаем
п 4-1
п
EW(f(x)) = ап
Ч >/•*#
;
Ui?
,* I
. s5
(* - c)
* i *
О для n
A 0, 1,
ad (x - c)
d-n
M
1
HJJ^
* ft
Подставляя x - с, получим an так что степень (x с)м делит / (x) Остальное
вытекает из опре-yi деления 1,65, ? М
V д. . fav;
Теперь мы в состоянии доказать основную лемму, в которой Ш строится
нужный нам вспомогательный многочлен. '1
6,52. Лемма. Пусть / С РД fx] - - яш/со# многочлен степени к 1 и т Д- 2 -
такой делитель числа q - 1, что многочлен ут - / (х) - абсолютно
неприводим, Пусть, далее, g = /(^~1>/Wr В С РД Ex] - некоторый задани бш
многочлен степени г, 1 -гД ¦лб, г < т, и Т - ляожестео таких элементов с
б Fq, для которых либо / (с) - 0, либо В (g (с)) = 0. Пусть, наконец, Л4
-. таков натуральное число, что М А + 1 а (М + З)2 Д 2^/яь. Тогда
существует ненулевой многочлен h С Fq fx], такой, чяк?
•Wvi
1
ё: < к
:? Т *4*
'
§ 4. Метод Степанова-Шмндта
375
каждый элемент с ? Т является его корнем кратности не менее М, и при этом
deg (h)
Доказательство. Будем искать нужный нам многочлен в следующем внде:
т-1 и
h(x) = f(xf Е Е<Ы*) *(*)'*'. (6-22)
(=0 /=о
где etJ - многочлены с коэффициентами нз Fg, которые надо определить,
причем должно выполняться неравенство deg (е^) <' < q/m - k, и где
m = L-^-(M + A+1)J. . (S.23)
Найдем я-е гнперпронзводкые многочлена h для я = 0, 1,
...
..., М - 1. Заметим сначала, что поскольку g является степенью
многочлена Д то по следствию 6.49
где
deg(eijn)deg(eff) - 1)<
< ±.-k + n(b-l)<-%r + n(k-l)-l. (6.24)
Можно считать, что h (x) = v (je\ x?)t где
m-I и
V(x, y)=E Jjf(x)MetJ(x)g(xYyi,
i=0 j-0
и так как M qt то можно применить следствие 6.50 для 0 -<
< п < М - 1. Получим
т-I и
?<"> (ft (д:)) = f (х)м~п S ? eUn (х) g (х)1 Xfi. (6.25)
{=0 j-Q
Пусть J5 (х) = b$ ~4" biX "4" *¦* br_\Xr^ - х?л bi ? Fg* Еслн
элемент с ? Fq удовлетворяет равенству В (с) = 0, то
сг - Ь0 -j- b^c "(- ... -j- ^ г
и тогда для любого / 0 степень с1 представима *) линейкой
Т-1
9 При i <С г это очевидно, прн t = г+ 1 имеем с1 - с-сг = с2j ~
1=о
г-2 г-"I
~ 2 biC^1 -f- &r-i 2 и т* д' - Прим. перев. г=0 0
376
Гл. б. Уравнения над конечными полями
комбинацией степеней 1, с, сг~~1 с коэффициентами из
С1 = 2
'
/=0
Поэтому для элемента с ? удовлетворяющего равенству В (g (с)) 0,
выполняется равенство
г-1
g(cy = 2 ДЛЯ / > 0.
• •• т
'•if/i
¦di
i=0
Подставляя в (6.25) вместо х такое значение с и учитывая, что! & = с,
получим
w-i и
(Е{п) ф)) (Г) - / {С)м~п 2 I! еап (с) g (су ci
/-о /=о
0
hi-.
f-i
= f(c)M-~n 2 Stn(c)g(cy
где
s<*W
m-I и
? Jjbitem{x)xL
1=0 /-о
¦¦¦'fi
л-lj
f
¦:f€4
¦
Чтобы получить равенство (E<л> (й)) (с) = 0, п - 0, 1, М - для всех
элементов с ? IF9, удовлетворяющих равенству В (g (с)) - 0, надо
приравнять нулю все многочлены sin> 0 < t <; г - 0 < п < М - 1. Из (6.24)
следует, что
гШ
deg(sin)
т
Vw
v • V*.
<?:
Поэтому если S обозначает суммарное число коэффициентов все^| многочленов
stn> 0 < t < г - 1, 0 < п <, М - 1, то
М- 1
- 1) 4- и
П-0
гМ (
т
+ п (к
я
т
- и
1
г (к - 1 )М(М - 1)
¦ ''.Щ
'i+t-w
№ >/ :
¦ д?
¦Vi
• л)
4,-И-м -\~rM - m + k+ 1)
^ т s т 4 1 Е ;
1
т
г Ik - 1) М2
Ф
ввиду (6.23). Учитывая, что г < т, получаем неравенство
S < М + Д- '¦М2 (ft + 1) -Ь гЛ4 (ft + 1).
(6.26)
¦и> trV X
¦ы
щ
. •* <у у vi ?'¦ vli
•iii;
§ 4. Метод Степанова-Шмидта
377
Пусть А - суммарное число возможных коэффициентов всех многочленов е0 i
<< т - 1, 0 <; / < и. Тогда в силу (6.23)
А>{-%Г~ k) т(и+ \)^(q - km)-^-(M + k + \) =
= it м + (k + 1) " rk (М + k + 1 )•
Так как М ^ k + 1, то
Л>-Д-Л"+-2-(* + 1)-2г*Л*. (6.27)
Условие, состоящее в равенстве нулю всех многочленов sin, приводит к
системе из S однородных линейных уравнений от А коэффициентов многочленов
Если S < А, то такая система обязательно имеет нетривиальное решение, а
значит, найдутся многочлены ец, не равные нулю одновременно*. Но в силу
неравенств (6.26) и (6.27) неравенство S < А будет обязательно
выполняться, если выполняется неравенство
¦\-rM\k + 1) + rM (ft + l)<-^-(ft + 1) - 2гкМ,
