Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 157

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 371 >> Следующая

Тогда
/ (*) = ("/У - (Л М)
0s - Л (*)) (ys{e~l ] I- yHC~2)fi (х)
так что членом.
i#
f (х) не является абсолютно неприводимым много-
? §
/y.g
- комплексные числа и В > CL|
6.55. Лемма. Пусть он, <оп С > 0 - такие константы, что
<Й1
4 ь
S
<ЙЛ
CBS для всех s ? N.
(6.30
• :
Тогда
щ
В для / - 1, п.
¦ щ
'*4s
ДЛЯ
Доказательство. Пусть г - достаточно малых значений I z
комплексЕЕая переменная.
ЧШ
log (1 -<в,г) = - 2
СЮ
1
¦; **л
'' *4 •у,> S-
<а*гя
"
/
i
и,
• die?
- :i •
i -Л*
V j J.4
так что
OO
log((1 - 0)12) ... (i - <о"г))
0)
s)
nf
(6.3t
..V>5
:
I'M
Srrr 1
Ввиду (6.30) ряд в правой части (6.31) сходится для ] г \ < В Поэтому
функция в левой части (6,31) аналитическая в круЕ^

и. еле
• svsO
ч
\г \ < В Т Таким образом, 1 - ^ 0 при j z
довательио, | % | ^ В для / - 1, ..., п.
Теперь мы можем доказать первый главный результат, кото*^ рый
обосновывает одно утверждение, высказанное в
т
4 гл.
" гГ>
У.'Й
6.56. Теорема. Комплексные числа щ, ..., o>d"i из теоремы
ш для / = 1, ..., d -
* / * -V 4
5.39 удовлетворяют неравенству | cuj j q
Доказательство. Предполагая, что выполняются условия ремы 5.39, ее
используя ее обозначения, положим k - deg (f)
: .V ..
§ 4. Метод Степанова-Шмидта
381
Выберем г ? IN так, чтобы qr > 100m&2 и многочлен f вполне разлагался в
поле tqr:
f W = (* ~ "l)'1 • • • (X- <*d)4
где аь ad - различные корни этого многочлена. Поскольку f не является т-й
степенью какого-нибудь другого многочлена, то число е - НОД fm, cif ed)
является собственным делителем числа т. Пусть
g(x) = (x- ",)'•¦" ... (X- а^1' е Г"гМ,
так что f - ge. Зафиксируем число s ? IN и положим Е - IF^rs, л -
i|)<rs)t т = Xе. Тогда мультипликативный характер X поля Е имеет порядок
т, ат имеет порядок п - mie > 1, так что
? >-(/ (Y)) - ? >."g (•?)*) = ? x(g (V))- (6.32)
у ^Е у ? Е у ? В
Пусть комплексное число р является первообразным корнем n-й степени из
единицы, и пусть для i - 0, 1, п -- 1 множество Ux состоит из всех a ? Е,
таких, что т (а) = р(. Для фиксированного ? ? U\ имеем a ? их тогда н
только тогда, когда € t/о. чт0 в свою очередь эквивалентно условию = рл
для некоторого р ? ?*. Пусть Л* - число элементов у ? ?, для которых g
(у) ? ?/*, т. е. tr(g (у) = рп для некоторого р ? Е*. Пусть Вх - число
решений уравнения уп = ?-(х) в с ненулевым значением координаты у. Тогда
Л* = Пусть -
полное число решений уравнения уп t~~lg (х) в Е2. Так как
НОД (п, ех/е, ..., eje) - НОД (m/e, ех/е, ed/e) = 1,
то в силу леммы 6.54 многочлен уп - tr^g (ж) абсолютно неприводим. Кроме
того, т делит число q - 1, так что п делит число qrs- 1, и можно
применить теорему 6.53, из которой получаем
| Nt - qrs I < 4 - для 0 п - 1.
Поскольку | Вх - Nt J < kfe}
I Bi - qrs I 5 - nzf2qrs!2 для 0 <' i <; rt ~ 1,
&
Запишем
At - - qrs +
тогда
k
382
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Из (6.32) получаем
2 *• </ ш
у?Е
2т & (V))
ri-I n-I
г-0 f-0
Из теоремы 5.39 следует, что
П - 1
2 Аф'
i=0
n-I
1
2 i-й"
Г5
Ri) Р1
1=О
2i*
< 5 " ni!2q
'i/2nrs/2
J? Г>'? . v УК
m
'5Я
rs I
0>i "p
fc ri
rs
k
пг/йдГ$ 2
Ш
Поскольку это выполняется для любого s f IN, то из леммы 6.5
г/2 | j ^ i/2 *
- <Cq ДДя °cex /, 1
(*)/
Я
так что со
}
ч*8ИЯ
Ж
; т
получаем, что < / < d - 1.
Оценка для сумм значений характеров в теореме 5.41 теперь полностью
доказана. Эту оценку можно использовать для уто^З нения теоремы 6.53.
6.57. Теорема. Пусть т ? IN и f ? Fq [х] - такой многШ член положительной
степени, что многочлен yf - f (х), где t щ = НОД (т, q - 1), абсолютно
неприводим. Тогда число N ний уравнения ут = f (х) в IF| удовлетворяет
неравенству
|ЛГ -^|<(/ - \)(d~ 1)^/2.
где d - число различных корней многочлена f из его поля разлоэш^ ния над
F
Ш
<!
щ
¦т
• yss\
, :М
Ш
¦\ .:0/i
'¦;т
Ж
Доказательство. В силу (5.70)
N - S N ЦТ = f (С)) = ? 2 и (f (с)) == ц V 2 2 у (/ (с)).
C€F> C?Fqf^Q /=lc?Fq
где X - мультипликатив[щй характер порядка t поля ЕсД i - 1, то результат
тривиален, так что можно считать, что t > И? Пусть ¦' f
/ (X) = aft (х) =* а (х - arf1
(х - a dYd

Is
•ЧЧ?., г.
где а ? IFg и аь "май- различные корни многочлена /. скольку многочлен уг
- f (х) абсолютно неприводим, то по лем*4 6.54 НОД (Д ег, ..., ей) = 1.
Для 1 -С j :C t - 1 характер
: Л
имеет порядок rj > 1, где гу делит t, так что Д не может ту-й степенью
некоторого многочлена. Поэтому в силу теоремы 5, получаем, что
t-\
ж
N
Я =
2 2 tt (ah (с))
r=i*e г,
Ч.
..у&
-1!
<(Г- l)(d- 1)9"/2.
!*|!
§ 4. Метод Степанова-Шмидта
383
Для завершения доказательства теоремы 5.38 нам нужно теперь изучить
уравнение вида у$ - у - / (х) иад конечными расширениями поля F9, которое
связано с распределением следов значений многочлена /. Ключевым пунктом
здесь снова является построение подходящего вспомогательного многочлена.
Введем следующее обозначение. Если заданы многочлен f над некоторым
конечным полем Fg, элемент Ь этого поля н конечное расширениеЕ поля Fgt
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed