Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
1=0
В подходящем алгебраическом расширении поля F? существует элемент a,
такой, что ат - / (0). Тогда (ау)т - / (х) - f (0) *
- (ут - f (О)"1 / (*)), так что многочлен ут - f (0)"* f (л:) абсолютно
неприводим (ввиду абсолютной неприводимости ут - / (*)). Далее, многочлен
ут - f (0)"* f (х) (как многочлен от у над полем F7 (х)) имеет в
некотором расширении поля F$ (л:) корень У, Из (6.20) получаем
т~ 1
Ct (^00" &m-ltо) Y~mi - 0.
1=0
Поэтому из (6.19) следует, что
т
П A faY"1; еш <W,o) = 0.
i-l
Таким образом, А (?;УГ"1; ^оо* ¦ ¦¦" ет~ь о) " 0 Дяя некоторого ?, 0 < t
<7 т - 1, и после умножения на Ут~1 получаем для этого i равенство
eooYm 1 tiewYm 2 ~f~ ¦ * * Н- tT lgm-1. о - 0.
Но Y имеет степень т над полем F? (х), так как многочлен Ут - f (0)~х / W
абсолютно неприводим, поэтому все многочлены emt ею, ¦ ¦ ¦ f ^m-i,o
нулевые. Значит, мы можем разделить (6.18) на х9 не помощью такого же
рассуждения доказать, что е01 -
- еп =•-=... = ет-хд = 0. Продолжая таким же образом, получим, что все -
нулевые многочлены.
Остается показать, что общий случай можно свести к случаю f (0) ф 0. Если
к дг то deg (е*Д < 0 (по предположению), так что etj = 0. Поэтому можно
считать, что k < <?, так что существует некоторый элемент с ? Fff, для
которого f (с) Ф 0. Положим h М - f (х + с) и gx (х) = g (х 3- с); тогда
многочлен ут -
- очевидно, абсолютно неприводим, и в силу (6.18)
(х "h с) 4" (х -j- с) gt (х) -j- * * * -j- (х с) g± (x)m~l = 0,
где многочлены hi (х + с) снова имеют требуемый вид (но с другими
многочленами etj (*)). Так как /х (0) Ф 0, то установленный
24*
372 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
'М
выше результат приводит к равенству нулю всех многочленов так что все ht
(я + с) равны 0, откуда следует, что ввд многочлены hi нулевые, а значит,
и все исходные многочлены равны нулю. Q!
S"
У*}
При построений вспомогательного многочлена с заданными! кратными корнями
нам понадобится удобный метод определения! кратности корней. Для поля
характеристики 0 это успешно осуществляется прн помощи производных,
однако для поля простойЦ характеристики р метод производных можно
применять лишь! в ограниченных пределах (ср. упр. 1.51). Например, у
многочлена хр все производные в точке 0 обращаются в пуль, тогда как 0
является корнем всего лишь краткости р. Поэтому мщ| введем
усовершенствованные производные, так называемые ги нерпроизводные,
которые окажутся более полезными.
Пусть К - произвольное поле. Для целого неотрицательного
й
числа п и многочлена f (х) = ? tyx1 ? К U1 определим п~
/=о
иперпроизводную Е(/) равенством
"oi
¦т
.-.'А)
Л:
г
?<"> (/) - ?<•> ( S ajxi\ - ? ('W/-.
\/-о / /=
.< ¦
Здесь мы применяем стандартное соглашение о биномиальных^! коэффициентах,
а именно считаем, что (^) = 0 при п > /; -п(tm)
. V Г5:
гарантирует, что п-я гиперпроизводцая является многочленов
над полем К¦ Если поле К имеет характеристику 0, то
т
if) = 4rltn) Для всех f G К [х].
'¦Ш
¦ л* *
Ясно, что Е{п) является линейным оператором в том смысле* что EW (cj) -
(/) и (Д + Д) - ?(/I) (Д) + (Д) ДПй-f
всех с Е К н Д Д, Д Е /С UJ. Установим теперь некоторые формулы для
гиперпроизводных, которые нам понадобятся в даль-
нейшем.
6.47- Лемма. Если Д, ..., Д ? U1, где К - произвольное
поле, то
•.•si
я, - ... +
•Дг.'
Доказательство. Ввиду линейности Е{п) достаточно доказать эту формулу для
одночленов. Нетрудно видеть, что для многочле-
л -V
• ,",Д
.<<
¦,М
-'¦'И
§ 4. Метод Степанова-Шмндта
373
4-п
нов fj (*) = xkit / - 1, равенство (6.21) эквивалентно ра-
венству
fllt .... "^>0
последнее легко доказывается сравнением коэффициентов при хп в обеих
частях равенства
(X -г 1 )*!+¦"+*" = (JC+ l)4! ... (ж f 1)4 ?
6.48. Следствие. Если с ? /С, то ?("> ((х - с)') = Q (X - су
Доказательство. Применим к многочленам Д (х) - х - с,
1 < / < Л лемму 6.47. Так как ?(1) (х ~ с) = 1 н №> (х - с) -
0 для ц 2, то в сумме (6.21) останутся лишь те члены, для
которых все т принимают лишь значения 0 или 1. Число таких
членов равно а каждый член равен (х- с)*~Л
6.49. Следствие. Если / и Д w ? К [х], где К -
произвольное поле, то
?{п) (pfi} - ш^р~пу
где wx ? К М и deg (е^) < deg (ш) Ь п (deg (/) - I). Доказательство.
Применяя (6.21), получим
EW(wf')= 2
па, .... ft^>0
n0~rn1+...+nt^=n
Здесь в правой части каждый член делится на р~п, так как не менее t - п
из чисел nlt .... nt равны нулю. Поэтому Е№ (wp) = - Wip~n для некоторого
wx ? К [х]. Кроме того,
deg (шг) = deg (?<n> (wp)) - (t- n) deg (/)
< deg (w) + t deg (f) n (/ n) deg (/) -
= deg (w) + n (deg (f) - t). ?
6.50. Следствие. Пусть К - поле простой характеристики р,
и пусть задан многочлен вида h (х) = v (х, xpS). где v (х, У)
?
? К [х, у ] и s ? IN. Тогда п-я гиперпроизводная EW (h)
много-
члена h (х) для 0 ^ п < ps равна п-й частной производной многочлена и (х,
у) по х с последующей подстановкой у = xpS.
374
Гл, 6, Уравнения над конечными полями
щ
Доказательство, Ввиду линейности ?" достаточно paccMGfj треть лишь
