Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
а для этого достаточно выполнения неравенства
-Ь ЛЯ (* + 1) + з (ft + 1) М < JL. (ft + 1),
которое эквивалентно неравенству
2W2 -1- 67W .
' ^ т
Последнее же заведомо выполняется в силу предположения, что
(М + З)2 < 2qfm.
Выбрав, как указано, многочлены ец, мы построим многочлен h по формуле
(6.22). Этот многочлен отличен от нулевого, поскольку в противном случае
в силу леммы 6.46 мы получили бы, что все ец равны 0, а это исключено. По
построению многочлена к и в силу леммы 6.51, каждый элементе ? Fg, такой,
что В (g (с)) = 0, является корнем кратности не менее М многочлена h.
Поскольку h имеет сомножитель /м, то каждый элемент с ? Т является корнем
кратности не менее М многочлена h. Кроме того, нз (6.22) и (6.23)
следует, что
deg(/i) < Ш 4--^- k + (m - 1) q~~m 1 k -f-qu <
<ftM + -|- + <?ft + -|-(Al + ft + l)<
<kq'l2 + -^-qM + q (3_ + 2ft+ l) <qM + ikq.
?
378
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Ц А'я
Теперь мы установим предварительную оценку для числа ре-'$ шений
уравнения ут - / (jc), которая справедлива для достаточно^ больших
значений q. Позднее этот результат будет улучшен в двух ' направлениях, а
именно будут ослаблены условия и уточнена оценка (см. теорему 6.57).
6.53, Теорема. Пусть f С fq [х] - такой многочлен степени k > 1 и т ф 2 -
такой делитель числа q - 1, что много член ут - / (х) абсолютно
неприводим. Тогда если выполняется i. неравенство q ф 100m&2, то число N
решений уравнения у ~ f (х) в fq удовлетворяет неравенству
\N-q\< 4kmWqVK
Доказательство. Пусть /г - многочлен, построе*шый в лемме 6.52. Так как h
Ф 0, то из теоремы 1.66 следует, что (в обозначе/S ниях леммы 6.52) М \ Т
| < deg (h), и оценка степени deg (h) \ в лемме 6.52 дает
( Ф . г . Ak
Т \< - Ч+-ггЧ-
>т
¦ ¦/¦Л
i ЧЛ
№
У
т
М
•>.й
Теперь возьмем М - \_(2q/m)^2j - 3. Поскольку q ф 100ш&2, то 1
2q у/2
т
1
т
1/2
так что число М удовлетворяет всем условиям леммы 6.52. Учи тывая, что М
> (qim)1 -2, получим
/•
(6.28)
¦Ф
t't
иг
$ "*>
•/ttW
Сначала возьмем в лемме 6.52 В (х) = х - 1. Тогда г = 1, ш в обозначениях
леммы 6.45 | Т | = | Т0 | + | Т\ |, так что (6.28) следует неравенство
¦\ф
Т
о
Т,|<
ч
! S.'J
m
4 kml№ql/2<
Таким образом,
N = | Г0 | + от | Гх I < m (| Г01 + | Тг |) < + 4km^q^2. (6.
Теперь возьмем В (х) - х
-. Yin-i Л
X
т-
+ ... + х -f- 1. Тогда ока'
s>!
У ?т
•• / ;w ' A
. :;Й
'' Щ
¦i-'t .. ,5^
жется, что г получаем
m
1 и | Г | = | TQ | + | Т2 ], так что нз (6.28)= |
Го 14- Г2
m - 1 m
q 4 4kml/2qu2.
Вновь применяя лемму 6.45, прнходим к соотношению
Т
Я
Т
о
А >
±
m
! tAv '
' U
' О.?
.у
¦Я
" /С
А
!а'*
§ 4, Метод Степанова-Шмидта
379
так что
N ~^т\Тг\> q ~ 4 ктг/2д1/2>
и, учитывая (6.29), мы получаем требуемый результат. ?
Условие абсолютной неприводимости многочлена ут - / (лг) можно задать в
более удобном виде согласно следующему общему критерию.
6.54. Лемма. Пусть К - произвольное поле, [ С К [х] - мно-гочлен
положительной степени и т С IN. Пусть
f(x) = a(x - . .. (х - ad)e<i
- разложение многочлена f в его поле разложения над /С, где а ? ? К и "ъ
- различные корни многочлена [. Для того чтобы
многочлен ут - f (х) был абсолютно неприводимым, необходимо и достаточно,
чтобы НОД (т, ..., ed) - 1.
Доказательство. Покажем, что многочлен ут - / (х) не будет абсолютно
неприводимым в том и только том случае, когда НОД (m, et) ..., ed) > 1.
Допустим, что этот многочлен приводим над некоторым алгебраическим
расширением L поля /С, причем можно предположить без ограничения
общности, что в поле L многочлен ут - ] вполне разложим, т. е. ym - 1 =
{у - ?i) ... {у - Тогда
Ут - / М = F (х> У) G (*. У).
где F, G ? L [х, у], deg (У) > 0, deg (G) > 0. Теперь рассмотрим ут - f
(х) как многочлен от у над полем рациональных функций L (д;). Если У -
корень этого многочлена в его поле разложения над L (x)t то
ут - [ (х) - (у - ^У) ... (у - ?тУ).
В силу единственности разложения для некоторого ненулевого элемента а нз
L получим
F (х, у) = а (у - lhY) ... (у - eJnK),
где /1( ..., /п С (1, mj, 1 <' п < т. Рассматривая обе части этого
равенства как многочлены от у и сравнивая постоянные члены, получаем
(-1)"^... ?Jny" еыхъ
а значит, Уи ? L [х]. Пусть w - наименьшее натуральное чнсло, для
которого Yw С L (ж). Тогда w ¦< n < т, и каждое н ^ IN, такое, что Yu ? L
(я), делится на w. В частности, число т делится на w, так как Ym - / ? L
(х). Полагая t -- > 1 и
Ут = g/ft при g, Д ? ? [х], h Ф 0, получаем, что / = (g/Л)*, откуда fh* -
g*. Сравнивая кратности корней а*-, 1 ^ i d,
380
Гл, 6. Уравнения над конечными полями
. МЙ
.' I \i?
в обеих частях этого равенства, мн видим, что t делит каждое из 1 чисел
еь. Поэтому i делит ИОД (т, еъ ed), так что НОД (т,
&U •"> &d) ^ 1 •
Пусть теперь, наоборот, е = НОД (т, еъ ed) > 1 и Ki - поле разложения
многочлена / над /С. В подходящем конечном ] расширении поля Кх
существует элемент р, такой, что р* = ц, s Положим s - mfe и *
Л М = Э (JC - "i)ei/e • ¦ • (* - Я.
