Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
сумм Якоби к этой теории см. Baumert, Fredricksen fl], Berndt, Evans [I],
Menon [2], Muskat, Whiteman fl], Storer [I], Whiteman [10], [111 и
Yamamoto [3].
§ 4. Суммы значений характеров из теоремы 5.30, которые в силу этой
теоремы тесно связаны с суммами Гаусса, иногда тоже называют суммами
Гаусса. Их элементарная оценка, приводимая в теореме 5.32, получена Харди
и Литтлвудом (Hardy, Littlewood [3]) для простых конечных полей, а для
произвольных конечных полей - в эквивалентной форме - Хуа и Вандивером
(Hua, Vandiver [1]); см. также Schmidt W. М. [3, ch. 2]. Некоторые
улучшения удается получить, если брать числа п из определенного множества
(см. Митькин [5]). Эти суммы для небольших значений п удается вычислить;
см. Berndt, Evans [I ], 121, а также обзорную статью Berndt, Evans [4].
Значения этой суммы для п - 2 приводятся в теореме 5.33 и следствии 5.35.
Аналогичные суммы значений характеров с произвольным п встречаются в
аналитической теории чисел в связи с проблемой Варинеа о представлении
натуральных чисел суммами л-х степеней; см. Ayoub [1, ch. 4], Barrucand
[I ], Hardy, Littlewood [2], 131, Kloosterman [4], Landau [2, ch. 6] и
Vaughan R. С. [I, ch. 2, 4] *). Теорема 5.34 доказана Карлицом (Carlitz
[120]).
Теоремы 5.38 и 5.41 были получены Вейлем (Weil [5]) на основе его
Доказательства гипотезы Римана для кривых иад конечными полями. В связи с
этим вопросом см. комментарии к § 4 гл. 6.
1) См. также Виноградов И*]. - Прим. перев.
306
Гл. 5. Тригонометрические суммы
Щ
ш,
Ъ:*
ш
Как отмечалось в рассуждении, следующем за теоремой 5. условия,
наложенные на многочлен f в этой теореме, могут бьщ|| ослаблены.
Действительно, Карлиц и Утняма (Carlitz, Uchiyarndj [ 11) показали, что
для справедливости теоремы достаточно, чтобв| многочлен / нельзя было
представить в виде gp - gbt g С Fg Ь С fq и р - характеристика поля 1рв.
Для мнопй| членов же / такого вида полученная в теореме оценка не обяза||
тельно верна (см. снова рассуждение, следующее за этой теоре| мой).
Завершение нашего доказательства теоремы 5.38 в § 4 гл покажет, что это
связано с нахождением хороших оценок числа решений уравнения уч - у = f
(л) в расширении поля Элементарный метод установления таких оценок
принадлежи!! Степанову1) [3], [5]; его упрощения получены Шмидто (Schmidt
W. М. [3, ch. 21) и Мнтькиным [I]. Связь между кими оценками и теоремой
5.38 разъясняется также (Schmidt W. М. [3, ch, 21) и Постниковым [1].
Оценка, анал^| гичная полученной в теореме 5.38, приводилась в качестве
гипотезы в статьях Hasse [5] и Mordell [ 6 j. Ранее получени оценки для
простых конечных полей имели вместо показателя I сначала показатель 1-
2|_л + е для любого е > 0 (см. Hard Littlewood [I ] и, с небольшим
улучшением, Kamke [I ]), а зат 1 - I/я (Mordell [4] и, с небольшим
улучшением, Davenport [41 Как общая оценка теорема 5.38 является
наилучшей из возмо ных согласно результату Шмидта (Schmidt W. М. 13, ch.
2 Другие нижние границы для абсолютных величин таких су значений
характеров получены в следующих работах: Anderso! Stiffler [I],
Tietavainen [2], Карацуба [5], Книжнерман, Сой лннский [II, Коробов,
Митькин [1 ] и Митькин [3]. В ста Caviar [3] определено число многочленов
над простым полем для которых соответствующая сумма равна по абсолютной
вел чине числу р1/2. Одони (Odoni [1]) получил один результат
статистическом распределении величины 2 X (f (6'))
В статьях Davenport, Heilfaronn [I], Акулиничев [1], Вий градов И. М. [5]
и Карацуба [5] рассматривался случай f (х)
~ ах* + Ьх, я, b С IFJ" 2 п < р - 1, причем в последи из названных работ
показано, что
г х(т>
г 1/2
• Щ
:-т
":'ц
№
jV;
Ш
да я нетривиального аддитивного характера х простого поля Эта оценка при
п > 1 + рХ/3 лучше, чем в теореме 5.38, Част случаи п - 3 н п = 4
рассматривались Карлицом (Carlitz [11
[124]) и Морделлом (Mordell [28], [29]) соответственно. В стад
9 См, комментарии к § 4 гл. 6, - Прим, перез.
[/¦М
г
••• W?
'¦\:S
ш
Комментарии
307
Birch [21 изучалось усредненное поведение таких сумм при п = 3, когда а и
Ь пробегают простое поле Fp. Для случая f (х) = ахр+1 + 4 bx ? [л],
где аф 0 и р - характеристика поля fqt такие
суммы значений характера оценивались Карлицом (Carlitz [124],
[125]). Элементарное доказательство отмеченного выше результата Карлица и
Утиямы было получено Вильямсом (Williams К. S. [27]) для случая, когда
число q четно и deg {() < 6.
Аналоги сумм значений характера из теоремы 5.38 изучались также для
факторколец Z/(m); см., например, статьи Chen J. R.
[1], Hua [I], [3], [6], [7|, [9, ch. I [, [12] и Карацуба [4]; недавние
уточнения см. в работах Chen J. R. [2], Korner, Stable
[1], Loxton, Smith [1], Smith R. A. [6], Нечаев [7 [, Нечаев, Топунов [I]
и Стечкин [I].
Завершение нашего доказательства теоремы 5.41 в § 4 гл. 6 покажет, что
содержащаяся в ней оценка зависит от нахождения хороших оценок для числа
решений уравнения ут - f (х) в расширениях поля F4. Элементарный метод
