Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
подробны работы Berndt, Evans [13 и Muskat [6]. Содержит сведения по
этому вопросу и обзорная статья Berndt, Evans [4 3. Интересен результат,
полученный Эвансом (Evans [13): если X - мультипликативный характер
порядка k>2 простого поля рр, то ии одна из степеней суммы Якоби J (X,
Х)лг где п - ненулевое целое число, не может быть действительным числом,
если число аргументов суммы Якоби превышает 1. Этот резуль-
* щ
тат улучшает полученный ранее результат Екоямы (Уокоуама [13).
Если X - мультипликативный характер порядка т произвольного конечного
поля рд, то сумма Якоби J (Xr, Xs), очевидно, является целым
алгебраическим числом из т-кругового поля над полем Q рациональных чисел.
Задача нахождения разложения главного идеала, порожденного этим целым
алгебраическим числом в кольце целых кругового поля Q(m>, в этом случае
проще, чем в случае сумм Гаусса. Она была решена Куммером для случая
простого числа т в статьях Kummer [3 3, [6] и для составного т в статье
Kummer [7]. Современное изложение этих результатов см. также в книге Lang
[5, ch. 13 Сравнения для сумм Якоби
304
Гл. 5. Тригонометрические суммы
были получены Кронекером (Kroneeker [6]) н Шверингом (Schw ring [1]); см.
также Parnami, Agrawa], Rajwade [2].
Как и суммы Гаусса" суммы Якоби рассматриваются и в другщ разделах
математики и ее приложений. Важность сумм ЯкоШ для полей алгебраических
чисел стала очевидной после тог; как Вейль (Well [7], U0]} показал, что
из них получаются называемые характеры Гекке (или гроссенхарактеры)
абедевщ* расширений поля Q рациональных чисел; см также Deligne [|J и
Lang [5, ch. IJ. Делинь (Deligne {41) дает когомологическую:
интерпретацию сумм Якоби; см. также Katz [5]. В статье Fr5f| lich [1 ]
рассматриваются так называемые якобиевы суммы ГалуЙ и их разложение. Холл
(Hall {71} определил суммы Якоби дл§ групповых колец над круговыми
полями. Общую теорию су,щ{ Якоби для конечных колец развил Ламнрехт
(Lamprecht [3|| см. также Kutzko 1П. Оно (Опо [8]) ввел суммы Якоби для
Ш§ нечных абелевых групп.
В примерах 5.24 и 5.25 указаны два теоретико-числовьС приложения сумм
Якоби. Существует и множество других прй| ложений. Так, на суммах Якоби
можно основать доказательств! кубичного закона взаимности (Ireland, Rosen
[1, ch. 91, Joly [4-jjf Weil'{ИЗ), биквадрэтичного закона взаимности
(Bachmann I# ch. 131), а также высших законов взаимности (Evans {91,
Leonard Williams {63, Western [I], Williams K. S. {341). Суммы Яко||
можно использовать для установления критерия того, является f* данный
элемент вычетом (см. Berndt, Evans {13, Evans [61, Hav , {141, Leonard,
Mortimer, Williams [11, Muskat {2], [3], {5|f Western {2], Whiteman 181).
С помощью сумм Якоби можно полз§ чить результаты, аналогичные примеру
5.25; богатым источник#!; таких результатов являются работы Berndt, Evans
111, {2jf см. также Ireland, Rosen {I, ch. 81 и Leonard, Williams [2;^
Приложения сумм Якобн к проверке на простоту получен, в статьях Adleman
[1 ], Adleman, Pomerance, Rumely {11 и Cohe#| Lenstra [II. В статьях
Carlitz [76] и Lehmer D. H. [91 сумм% Якоби применяются для изучения
матрицы (х{; (/ - /))t<o где х|з - мультипликативный характер простого
поля ИвасаЩ (Iwasawa П1) связал суммы Якоби с числами классов' круговщ
полей. М
Что же касается приложений сумм Якоби в теории конечны^ полей, то
отметим, что они не только тесно связаны с суммам , Гаусса, но появляются
также и при изучении других тригомр метрических сумм; см., например,
теоремы 5.51 и 5.52" а так^ статьи Berndt, Evans 111, [21, Leonard,
Williams [4], Sin ' Rajwade {11 и Whiteman {141. Приложения их к
уравнени||, над конечными полями будут рассмотрены в гл. 6. Отметим зд^Г
лишь тесную связь между суммами Якоби н так называемый^ циклотомическнми
числами. Если b - примитивный элемещ
Комментарии
305
поля Fg и е - заданный натуральный делитель числа q - I, то
циклотомическим числом (h, k)e порядка е называется число упорядоченных
пар (s, t}, удовлетворяющих равенству
Ь"+л + i = &*<+*, о <s, t<(q- \)/е>
Связь между диклотомическими числами и суммами Якоби была замечена еще
Куммером (Kummer [4], [6]). Большинство исследователей этой связи
ограничились лишь случаем простого числа q\ см., например, НаП [7],
Mitchell Н. Н. [I j, Myerson [5], Par-nami, Agrawal, Rajwade 131 и Storer
[2], 14]. Общий случай рассмотрен в статьях Vandiver [14], 1171. О связи
между цикло-томическими числами и суммами Якоби см. также работы Bachmann
[1, ch. 15], Baumert, Fredricksen [II* Berndt, Evans [11, Rruck [2],
Dickson [26], [44], [46], Evans, Bill [I], Leonard* Williams [5], Muskat
[41, [6], [71, Muskat, Whiteman [I], Schwe-ring II], Storer [1]* Whiteman
[51, [91. [101, [11], [14] (cm.,
кроме того, комментарии к § 3 гл. 6 об оценке циклотомических чисел и об
их связи с уравнениями над конечными полями). Некоторые из приведенных
работ имеют отношение также к теории разностных множеств. О приложениях
