Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
построенного с помощью конечных полей. Кондо (Kondo [1]) изучал суммы
Гаусса для колец матриц над конечными полями, а квадратичные суммы Гаусса
для таких колец рассматривались в статьях Porter [163, [17]. Общая теория
гауссовых сумм для конечных колец была развита Лампрехтом (Lamprecht [1],
[2], [3]); см. также Kutzko ft ]¦ Суммы Гаусса для так называемых
квадратичных характеров конечных абелевых групп изучались Шпрингером
(Springer [3]). Ссылки на литературу по обобщениям сумм Гаусса см. в
работе Berndt, Evans [41.
Суммы Гаусса находят много приложений в теории конечных полей, теории
чисел н комбинаторике. О применении сумм Гаусса Для определения числа
решений некоторых уравнений над конеч-
302
Гл. 5. Тригонометрические суммы
ными полями см. гл. 6. Суммы Гаусса можно использовать получения
унитарных представлений степени р для групй характеров группы [Гр (см,
Burde [I]). В статье Yamada изложено одно приложение сумм Гаусса к кривым
ур - у
1 над простым полем Гр. Морено (Moreno О. [1])
mi
к
пользовал суммы Гаусса для определения числа элементов с абсолютным
следом 0 и с заданным степенным характер Значение сумм Гаусса в
доказательстве законов взаимности б отмечено выше. Упомянем также
следующие теоретико-числов вопросы, где используются суммы Гаусса:
критерий того* f ляется ли данный элемент вычетом (квадратичным или
высокой степени) (Ankeny [33, Evans [6], Hasse [141, Haya
[2], Muskat [I], [3], Whiteman [8], Williams K- S. [31]), блема Варинга
(Ayoub [I, ch. 4], Barrucand [1], Hardy, Litf wood [23, [3 3, Landau [2,
ch. 6], Vaughan R. С. [I, ch, 4 3) проверка на простоту (Lenstra H. W,
[21), L-функции Дири и функциональные уравнения для них (Apostol [11,
Ayoub j арр. В], Chowla S. [16, ch, 11, Hasse [11, ch, 11, Lang [5, eh.
функциональные уравнения для рядов Дирихле, соответству модулярным формам
(Shimura [1, ch. 33), абелевы числовые й (Gras [13, Leopold! [13) и
формулы для числа классов (Bergsti [1], Hasse [91). Суммы Гаусса
возникают в теории разностй множеств (Berndt, Chowla [1], Berndt, Evans
[I], Evans [10], Menon [2], Muskat, Whiteman [13, Yamamoto [3]) и в с
распределением весов в циклических кодах (Baumert,
[I], McEliece [5], McEliece, Rumsey [11, Niederreiter [83). Щ мощью сумм
Гаусса в статье Auslander, Tolimieri [I] полу интересное соотношение для
конечных преобразований Фур Суммы Гаусса появляются также в
функциональных уравней для дзета-функций, соответствующих некоторым
представлейй! группы GL (и, !Fff) невырожденных п X n-матриц над конеч
полем (см. Springer 12 3). ¦
§ 3, Суммы Якоби J (Хь л., Хк) для конечных простых поЛ и при k -¦ 2
упоминаются Якоби (Jacobi [11) в его письме Гауе Первыми публикациями,
где они обсуждаются, являются cfafi Коши (Cauchy [21) и Якоби (Jacobi
[21), и, что окончател" запутывает вопрос о приоритете, они встречаются
также в смертно опубликованной работе Гаусса Gauss [53. Указаин источники
наряду со статьями Cauchy [43, Eisensiein [IJ й besgue 121 содержат уже
все основные свойства таких По поводу этих ранних работ см. также
Bachmann [1 ], Dicks Mitchell, Vandiver, Wahlin [1, § 19], Smith H. J, S.
[13 и W [111. Эквивалентные суммам Якоби тригонометрические сумм для
произвольных конечных полей при k - 2 были введены
\Ь
и?;;
L) См. также Виноградов [1*1. - Прим, перев,
Комментарии
303
мером (Kummer [63). Новый этап изучения этих сумм начался со статьи
Штикельбергера {Stickelberger [13). Суммы Якоби для произвольного k 2,
кажется, появляются впервые в статьях
Вейля (Weil [63) и Вандивера (Vandiver [163). Доказательства
основных свойств сумм Якоби общего вида можно найти как в этих двух
работах, так и в статье Faircloth, Vandiver [13. Эти свойства сумм Якоби
излагаются в книгах Hasse [15] и Ireland., Rosen [13, а также в статье
Joly [53.
Мы уже говорили в § 2 о теореме 5.14, доказанной Дэвенпортом и Хассе
(Davenport, Hasse [13). Аналогом этой теоремы для сумм Якоби является
теорема 5.26, которая была доказана гораздо раньше Митчеллом (Mitchell Н.
Н. [13). Теорема 5.28 доказана в статье Davenport, Hasse [13, однако
следствие 5.29 появилось (для случая простых конечных полей) еще в статье
Якоби (Jacobi [23); о доказательстве теоремы 5.28 см. также Gras [11 и
Lang [5, ch. 23. Элементарные доказательства теоремы 5.28 имеются в
работах Berndt, Evans [1] и Hasse [15, ch. 20 3 (для случая квадратичного
характера) и в статье Berndt, Evans [23 (для случая, когда т - степень
двойки). В работах Berndt, Evans (23 и Gras [1] показано также, что
задача нахождения элементарного доказательства теоремы 5.28 может быть
сведена к случаю, когда т - простое число.
Попытки вычисления сумм Якоби при k - 2 для характеров малых порядков
предпринимались многими авторами, нередко в связи с циклотомией. Но во
многих случаях еще остаются неясности. Упомянем работы Berndt, Evans [23,
Dickson [463, Evans [23, [3], Ireland, Rosen [1], Ishimura [13, Lehmer E,
[7 3, [83, Muskat, Zee [I], Tanner [13, [3] и Zee [13, [23; наиболее
