Эффект Ганна - Левинштейн М.Е.
Скачать (прямая ссылка):
3.3.2. Малосигнальный импеданс однородного образца
Для нахождения импеданса образца на основе линейной теории используем,
помимо уравнения Пуассона (3.5), закон полного тока
J(t) = qnv (Е) + qD ~+~ ~ ¦ (3.11)
*> Заметим, что для образцов конечной длины L значения k ограничены снизу
величиной порядка 2я/L, что эквивалентно требованию, чтобы размер
флуктуации не превышал размера образца.
41
Здесь J--плотность тока, задаваемого внешним источником*). Будем считать
далее, что ¦/=/" +Л е~ш' и для простоты диффузион-
ный ток учитывать не будем. Тогда, используя (3.5), из (3.11) получаем
еи (Е) дЕ , | е оЕ __ т , до) not /q 1 о\
------4Й---+ - е '
Решение уравнения (3.12) будем искать в виде
? = + Ef] (1 + aeikx) (3.13)
где а - произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.
Выбирая в качестве граничного условия E(0)=Eo, находим а=
- - 1 **). Подставив затем (3.13) в (3.12) и полагая /j(0) J0, Еj(0) <
Е0, получаем
qn0v (?¦") = Л, (3.14а)
-ik = i....- v---------Wv > (3-146)
v (Ео) imdV (Ео) 4 >
/<°> (1-
Е 0) = . (3.14в)
1 qnop-d - о>/4тс ' '
Выражение (3.14.а) представляет собой решение уравнения (3.12) в нулевом
приближении. Выражение (3.146) представляет собой условие существования
решения в первом, линейном по^(,0) и Е^ приближении. Оно совпадает с
дисперсионным уравнением (3.7) при D = 0. Выражение (3.14в) есть решение
уравнения (3.12) в линейном приближении при заданном граничном условии
Е(О)=Е0.
Интегрируя (3.14в) по ^ в пределах от нуля до L, находим полное падение
переменного напряжения U (со) на образце. Отношение f/(co)//(0)i(co)5 (S
- площадь поперечного сечения образца) представляет собой малосигнальный
импеданс однородного образца Z(a) на частоте со:
7 i \ I^tzL2 е а + " - 1 /о 1
S ' (Зл 5)
где
а = Ь
t;md (Ео) V (Е0) V (Ео)
Выражение (3.15) было впервые получено и исследовано в работе [3]. Оно
позволяет, в частности, более полно и строго установить границу между
режимами усиления и генерации. Для этого необходимо исследовать
устойчивость образца при питании его от генераторов напряжения и тока.
*) Уравнение (З.Ы) легко получить, подставив в первый член уравнения
(3.4) выражение для п из уравнения (3.5) и проинтегрировав (3.4) по х.
**> Заметим, что выбор граничного условия существенно влияет на
полученные ниже результаты. Это указывает на значительное влияние
контактов на свойства образца, в частности на его импеданс. Подробно
влияние контактов рассмотрено в § 3.10 и в гл. 6.
42
Система устойчива при питании от источника постоянного тока, если Z(td)
не имеет полюсов .в верхней полуплоскости комплексной плоскости со, где
Imco>0. Действительно, поскольку Z(co) = = Ui (<й)//<0)1 (со), а при
питании от генератора тока /(°)i = 0, то конечные значения t/(со),
соответствующие неустойчивости, могут реализоваться только при Z( со)-ы".
При этом величина U (со) -будет нарастать со временем, если lmco>0, т. е.
если полюс импеданса лежит именно в верхней полуплоскости комплексной
плоскости со. Из выражения
(3.15) видно, что в рассматриваемом случае Z(co) вообще не имеет
полюсов. Таким образом, при питании от генератора тока образец всегда
устойчив. Для устойчивости при питании образца от источника напряжения
необходимо, чтобы в верхней полуплоскости не было полюсов проводимости У
(со) = 1/Z (со), т. е. нулей импеданса Z( со). За исключением значения
а = 0, при котором Z(co)=^=0, нули импеданса соответствуют
нулям функции /(а) = е~а + а-1. Все корни уравнения f(a)= О
(за исключением а = 0) комплексные. В табл. 3.1 приведено несколько
первых корней ат уравнения f<(а) =0, определенных в работе [3] методом
последовательных приближений. При m>i можно получить аналитические
выражения для действительной и мнимой частей ат [3]:
Im ат~ ±2ят, Ream"ln2пт. (3.16)
Выражение для а (3.15) можно переписать в виде
a= (To/xmd)-i2nfT0, (3.17)
где Т0 - пролетное время.
Сравнивая (3.17) с данными, приведенными в табл. 3.1 и асимптотическими
выражениями (3.16), легко увидеть, что Im ат/2я~т, где т - номер
гармоники пролетной частоты. Это означает, что нули импеданса (и
связанная с ними генерация) могут возникать вблизи пролетной частоты и ее
гармоник. Для возникновения генерации необходимо, чтобы тmd было
отрицательно и по порядку величины соизмеримо с пролетным временем Т0.
Точные значения отношения Re a-m~T0lxmd, соответствующие возникновению
генерации, приведены в табл. 3.1.
Из таблицы видно, что при хта<0 с увеличением | Xmd | условие генерации
выполнится, прежде всего, на первой гармонике.
Следует отметить, однако, что значения Re ат, при которых это условие
выполняется на высших гармониках, сравнительно слабо возрастают с
увеличением номера гармоники.
Используя полученные результаты, можно несколько более строго установить
критерий Кремера (1.10), отвечающий условию -Re ат> >2,09 (табл. 3.1).
Отсюда имеем
n0L<2,09ev/2nq\ p,j|. (3.18)
Видно, что с точностью до численного коэффициента порядка единицы,
