Эффект Ганна - Левинштейн М.Е.
Скачать (прямая ссылка):
-q(n-п0). При этом уравнение (3.5) запишется в виде'
с??/с?2 = 4лр/е, (3.19)
а уравнение (3.4) после однократного интегрирования по 2 приобретает вид
Ф ___ qn<, [о {?) - v (Ег)] - р [о (Е) + и] /0 onv
dz D ' (O.ZV)
где Er - поле вне домена (т. е. при г-*±оо).
Легко убедиться, что уравнение (3.20) представляет собой закон полного
тока, записанный в несколько другом виде [сравнить с (3.11)].
Качественное исследование системы уравнений (3.19) - (3.20) может быть
выполнено с помощью метода фазовой плоскости [13].
3.4.1. Метод фазовой плоскости
Метод фазовой плоскости был впервые использован для решения физических
задач Зельдовичем и Баренблатом [14] и применен для исследования доменной
формы неустойчивости Бонч-Бруевичем [1, 2, 15], А. Ф. Волковым [16, 17] и
Найтом и Петерсоном [18]. Для такого исследования следует качественно
рассмотреть фазовые траектории системы (3.19) - (3.20) на р-, ^-плоскости
(рис. 3.6). На рис. 3.6 отмечены особые точки этой системы, т. е. точки,
в которых dEjdz-0, dpfdz=0. Как видно из (3.19), (3.20), координаты этих
точек р<, E-t определяются условиями pi-0; v(Ei) =v(ET) *>. Поведение
фазовых траекторий вблизи особых точек можно исследовать на основе
линейной теории.
Подставив р = р1(0) eikz, E - Ei-^-E^ eikz в систему уравнений (3.19)-
(3.20), получим из дисперсионного уравнения (3.7) при замене atfk на и,
уравнение для собственных значений k. Исследование этого уравнения
выполняется аналогично исследованию дисперсионного уравнения (3.7) и
приводит к следующим результатам. Поведение фазовых траекторий вблизи
особой точки определяется знаком дифференциальной проводимости ad- П.ри
оа>0 (точки Ei и Ез) особая точка является точкой типа седла (рис. 3.6).
При а<г<0 (точка Е%) особая точка является центром при v{E%)=-и (этот
случай показан на рис. 3.6), фокусом (при [v(Ez) +"]2 + 4'0d^<O) или
узлом (при [v(E2) + "2] + 4od-D>0).
*> При наличии падающего участка па кривой и(Е) особых точек может быть
две или три в зависимости от того, является ли уменьшение скорости с
ростом поля при E>Et монотонным или нет. Рассмотрим здесь более общий
случай, когда падающий участок на кривой v (Е) вновь сменяется в -области
сильных полей участком с положительной дифференциальной подвижностью
(рис. 3.6). Этому случаю соответствуют три особые точки.
48
?
Рис. 3.6. Особые точки фазовой плоскости р, Е для N-образной кривой v(E).
Перечисленные выше типы особых точек исчерпывают все их разновидности
(фазовые траектории вблизи особых точек типа фокуса и узла показаны на
рис. 3.6). Различные фазовые траектории вблизи каждой особой точки
соответствуют различным граничным условиям.
Зная поведение фазовых траекторий вблизи особых точек, можно сделать
определенные заключения о возможных нелинейных решениях исследуемой
системы уравнений, -исходя из топологических соображений. Из физических
соображений понятно, что возможна ситуация, когда при t-->-оо решение
исследуемой системы будет асимптотически приближаться к некоторой
замкнутой интегральной кривой при широком классе граничных условий.
(Здесь уместно, возможно, сослаться на аналогию с маятником часов,
который после достаточно большого промежутка времени попадает в один и
тот же автоколебательный режим при различных начальных отклонениях
маятника.) Такая замкнутая интегральная кривая называется предельным
циклом. Зная поведение интегральных кривых вблизи особых точек, можно
качественно нарисовать возможные предельные циклы. Удобнее, однако,
сделать это систематически, опираясь на теорему Пуанкаре [13], которая
утверж-
4-163 49
дает следующее. Припишем индекс +1 особым точкам типа центра, фокуса и
узла и индекс -1 особым точкам типа седла. Тогда внутри замкнутой
интегральной кривой должны находиться особые точки, сумма индексов
которых равна +1.
На рис. 3.7,а-г показаны возможные предельные циклы системы (3.19) ...
(3.20) на фазовой плоскости р, Е и соответствующие им зависимости E(z).
Рис. 3.7,а соответствует домену сильного поля, рис. 3.7,6 - домену
слабого поля, рис. 3.7,в - трапецеидальному домену сильного поля (т. е.
движущимся синхронно обогащенному и обедненному электронами слоям,
разделенным нейтральной областью), рис. 3.7,г - трапецеидальному домену
слабого поля.
На рис. 3.7,д и е показаны интегральные кривые, соответствующие
распространению обогащенного и обедненного электронами слоев. Заметим,
что в образце конечной длины при питании его от генератора напряжения
распространение стабильного обогащенного (и обедненного) слоя, очевидно,
невозможно. Из рис. 3.7,д и е ясно, что для того чтобы напряжение на
образце сохранялось постоянным необходимо, чтобы амплитуда поля менялась
по мере продвижения области объемного заряда.
Метод фазовой плоскости дает возможность установить возможные типы
нелинейных решений системы уравнения (3.19) ... (3.20). Следует, однако,
отметить, что из всех возможных решений, отмеченных выше, до настоящего
