Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
MaP(OG)Xx- (33)
Этот момент явно зависит от единичного вектора х, определяю-
щего в теле направление и сторону нисхоДящей вертикали, проходящей через неподвижную точку; поэтому уравнение
К + ыХК=Р(.00)Х* (34)
(или эквивалентная ему система уравнений Эйлера) не приводит в этом случае, как в случае движения по Пуансо, к изолирован-
1) Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что просуществует, других первых интегралов; напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного переменного t из теоремы существования общего решения, зависящего от я произвольных постоянных, необходимо следует существование я первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Ho во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме.
§ 5. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
101
ному определению угловой скорости (или ее проекций р, q, г) в функции времени; оно позволяет только выразить производную по времени от К и, следовательно, от «о посредством того же вектора » и единичного вектора х. Чтобы дополнить постановку задачи, мы должны будем согласно п. 1 прибегнуть к некоторому другому уравнению, которое вместе с уравнением (3) образует систему, позволяющую определить оба вектора ю и х. Таким, очевидно, будет уравнение, выражающее постоянство вектора х относительно неподвижных осей OStjC, т. е. уравнение
d%
dt
:X-f№X* = 0,
(35)
Уравнения (34) и (35), определяющие производные от ю и ж посредством тех же векторов, вполне характеризуют движение твердого тела; их можно назвать векторными уравнениями движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке. После проектирования на главные оси инерции х, у, z они дают шесть скалярных дифференциальных уравнений
Ар — (В — C)qr=P (_уоТз — Ztf2), Bq- (C-A) rp = P (Ztf1 — AT0T3), Cr—(A — B)pq = P (х0-(2 —_У(ш);
Ti = Tef-Te?.
Ta = TeP- Ti',
T8- Ti?—TsP;
(340
(35')
первые три из них представляют собой, конечно, уравнения Эйлера для нашего случая.
В общем мы имеем систему шести дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих шесть неизвестных функций времени р, q, г, Y1, -f2, Ys! следует, однако, заметить, что Yi, Ta, Тз в СИЛУ их геометрического значения как направляющих косинусов (проекций единичного вектора) должны также удовлетворять алгебраическому уравнению
т!+ті+ті=і, (36)
которое должно быть поэтому добавлено к дифференциальным уравнениям (34'), (35'). Впрочем, уравнение (35), или, если угодно, эквивалентная ему система (35'), выражает постоянство вектора ж, или Y?-{_TH-Ti = const>' поэтому уравнение (36) дает лишь уточнение этой постоянной интегрирования.
Отсюда следует, что общее решение системы (смешанной) (34',), (35'), (36) зависит от пяти произвольных постоянных.
102 ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ точки
При средствах современного анализа мы не сможем проинтегрировать эту систему в элементарной форме, по крайней мере до тех пор, пока не добавим подходящих ограничительных предположений
о распределении масс в твердом теле. В § 9 мы дадим некоторые исторические указания относительно многочисленных исследований, посвященных, начиная с Эйлера, этой интересной проблеме и имеющих своей целью прежде всего открытие все новых и новых случаев интегрируемости. Один особенно простой и важный также для приложений случай мы будем рассматривать несколько более подробно в § 6.
Здесь же в качестве общего замечания укажем, что система (347), (35'), (36) определяет в функции времени, кроме р, q, г, уже не углы Эйлера 6, ф (подвижных осей относительно неподвижных), а только направляющие косинусы ylt у2, у3 вертикального единичного вектора х относительно Oxyz, и вся аналитическая трудность задачи заключается именно в интегрировании этой системы. Всякий раз как будут определены в функциях от времени проекции угловой скорости р, q, г и направляющие косинусы ^1, ^2, ^3, соответствующие выражения углов Эйлера найдутся путем несложных алгебраических преобразований и одной квадратуры. Действительно, пользуясь известными соотношениями (22)
Y1 = sin <р sin 6, Ya = cos 5P s^n Тз = cos&,
мы непосредственно получим выражения 6 и <р в конечном виде как функции от Yi> Ta» Тз и> следовательно, от времени; после этого аналогичное выражение для 4 получится путем одной квадратуры, если мы воспользуемся каким-нибудь из уравнений
