Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
12. Перманентное вращение. Посмотрим, имеются ли между бесконечно разнообразными движениями по Пуансо, возможными для твердого тела, закрепленного в точке О, равномерные вращения* Это равносильно вопросу: возможно ли удовлетворить уравнениям
Эйлера (5') или эквивалентному векторному уравнению (18'),- полагая о» равным постоянному вектору в теле (а следовательно, также и в пространстве; т. I, гл. IV, п. 11)? Ho а таком, случае в силу
!) Sylvester, On the motion of a rigid body acted’otr by no external forces, Coll. Math. Papers, т. II, стр. 577—601.
2) M а с С и 11 a g h, On the rotation of a solid body round a fixed point, being..., The collected works, стр. 329—346.
3) G e b b і a, Su due propiieta della rotazione spontanea dei corpi, Mem^ della R. Acc, dei Lincei, т. I, 1885; стр. 326—333.
*) Collect, math, in mem. D. ChelinU Milano, Hoepli, 1881, стр. 6—16.
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПО ПУАНСО
89
соотношений между <Й и К последний вектор также будет постоянным как в пространстве, так и в теле; поэтому
ыХК=0,
т. е. оба вектора будут все время параллельны.
Обратно, всякий раз, как будет удовлетворяться это условие, из (18') будет следовать неизменность в теле (помимо неизменности в пространстве) момента количеств движения К и, следовательно, угловой скорости (о. Поэтому условие, необходимое и достаточное для того, чтобы движение по Пуансо сводилось к равномерному вращению, заключается в том. чтобы оба вектора о) и К оставались параллельными.
Ho, как мы знаем (гл. IV, п. 18), это будет иметь место только в том случае, когда угловая скорость ш (и, следовательно, вектор К) постоянно направлена по главной оси инерции; а так как это условие не налагает никаких ограничений ни на величину, ни на сторону, в которую направлена угловая скорость ы, то заключаем, что, когда результирующий момент внешних сил равен нулю, твердое тело может вращаться (с произвольной угловой скоростью, как в ту, так и в другую сторону) только вокруг каждой из его главных осей инерции относительно неподвижной точки.
В каждом из этих равномерных вращений полюс остается неподвижным как в пространстве, так и на эллипсоиде (в вершине) его так что полодия и герполодия сведутся к этой точке.
Определенные только что равномерные вращения твердого тела, закрепленного в своей точке О (и находящегося под действием активных сил с результирующим моментом относительно О, равным нулю), так же как и соответствующие оси вращения (главные оси инерции относительно точки О), называются соответственно перманентными вращениями и перманентными осями.
Для оправдания этого названия заметим следующее. При произвольном выборе начальных значений проекций угловой скорости р, q, г или, что одно и то же, при произвольном начальном значении Вектора м, эти величины изменяются с течением времени в согласии с уравнением (18') или с уравнениями (5'), а также в согласии с условиями качения эллипсоида инерции по плоскости т. Если же начальное мгновенное вращение происходит (при какой угодно величине и стороне) вокруг одной из главных осей инерции, то в силу гех же уравнений (18'), или уравнений (5'), или на основании геометрического представления Пуансо угловая скорость ю будет, сохраняться неизменной также и в последующие моменты. В конце концов, здесь речь идет о таких же статических решениях, уравнений (б'), о которых говорилось ранее (гл. VI, п. 17).
Для твердого тела с любой структурой (при отличны* друг от друга А, В, С) имеется только три перманентные оси, перпендикулярные друг к другу. Их будет бесконечно много, когда эллипсоид.
80 ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ точки
инерции относительно неподвижной точки будет эллипсоидом вращения (например, для твердого тела с гироскопической структурой относительно точки О), так как в этом случае главными осями инерции, помимо оси симметрии эллипсоида, будут все его экваториальные диаметры.
Если, в еще более чаогном случае, эллипсоид инерции сводится к шару, то перманентными осями будут все прямые, выходящие из неподвижной точки; в этом предположении всякое движение по инерции твердого тела будет равномерным вращением, как это следует из предыдущего и каїе это уже было подтверждено в п. 8 на основании дифференциальных уравнений движения.
13. Центробежные моменты инерции (моменты девиации). Остановимся на только что отмеченном обстоятельстве: если прямая а, проходящая через точку О, не является перманентной осью вращения, а начальная угловая скорость совпадает с ней по направлению, то ось мгновенного вращения при движении тела по инерции будет смещаться тотчас же после начала движения из своего начального положения а. Чтобы несколько выяснить причины этого явления, посмотрим, нельзя ли добавить (к возможным внешним активным силам с результирующим моментом относительно точки О, равным нулю) новую силу, которая препятствовала бы оси а перемещаться и вынуждала бы твердое тело перманентно вращаться вокруг нее с заданной начальной угловой скоростью.
С этой целью отнесем тело вместо главных осей инерции к любым осям Oxyz, неизменно связанным с ним, в которых ось Ox совпадает с заданной осью вращения а, в силу чего для составляющих результирующего момента количеств движения К вместо выражений (4) будем иметь более общие выражения
