Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
15. Движение относительно центра тяжести. Так как второе основное уравнение принимает вид
также и в том случае, когда центр приведения О, неизменно связанный с телом, вместо того чтобы быть неподвижным, в любой момент совпадает с центром тяжести (п. 1), то результаты, полученные в пп. 8—14, останутся без изменения, если мы будем рассматривать вместо (абсолютного) движения твердого тела, закрепленного в одной из своих точек, относительное движение свободного твердого тела вокруг его центра тяжести, лишь бы результирующий момент внешних сил относительно центра тяжести постоянно был равен нулю.
Таким образом, мы убеждаемся, например, что тяжелое твердое тело, свободно падающее в пустоте, будет двигаться вокруг своего центра тяжести так, как если бы оно было закреплено в этой точке. Далее, если речь идет о теле вращения (или вообще о гироскопе, т. е. о твердом теле с гироскопической структурой относительно центра тяжести), то движение около центра тяжести будет регуляр-«ой прецессией.
В общем случае, какова бы ни была природа активных сил (лишь •бы результирующий момент относительно центра тяжести был равен нулю), достаточно предположить, что в начале движения твердое тело вращается вокруг одной из своих главных центральных осей инерции (или же не вращается), чтобы можно было заключить, что оно будет продолжать вращаться бесконечно долго с той же угловой скоростью (или не будет вращаться) вокруг этой оси.
/
7
Фиг. 13.
Фиг. 14.
94
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
§ 4. Вопросы устойчивости движения по Пуансо
16. Мы предполагаем здесь исследовать на основе критериев, установленных в § 4 гл. IV, устойчивость или неустойчивость перманентных вращений, которые, как мы видели в предыдущем параграфе, возможны для всякого твердого тела, закрепленного в одной из своих точек О, относительно которой результирующий момент внешних активных сил постоянно равен нулю; заметим также, что все, что мы скажем в этом случае, можно будет непосредственно повторите и в применении к перманентным вращениям относительно осей, проходящих через центр тяжести свободного твердого тела, находящегося под действием внешних сил, результирующий момент которых относительно центра тяжести постоянно равен нулю.
Обратимся сначала к твердому телу со структурой общего вида, т. е., точнее, предположим неравными три главных момента инерции А, В, С твердого тела относительно закрепленной точки, что равносильно допущению, что неравными являются три главные полуоси а, Ь, с эллипсоида инерции относительно точки О; для определенности пусть будет
А<В<С, (25)
т. е.
а > b > с.
Мы знаем, что в этом случае для твердого тела возможны перманентные вращения (с произвольной постоянной угловой скоростью) вокруг каждой из трех главных осей инерции х, у, z\ если введем, как обычно, проекции р, q, г угловой скорости ш, то перманентные вращения твердого тела определятся равенствами
ai) P = Р’ Я = Г'= О,
За) Я = Я> г =P= О,
«в) r=^> P = 9=°,
где р, q, г обозначают произвольные постоянные.
Равенства O1, а2, о3 дают три семейства (зависящие каждое от одной произвольной постоянной) статических решений уравнений Эйлера (5'), которые, определяя р, q, г в функциях времени, вполне определяют всякое возможное при предположенных условиях движение твердого тела. _ _
Покажем теперь, что вращения O1, о3, т. е. перманентные вращения вокруг наибольшей оси х и наименьшей оси Z эллипсоида инерции, будут устойчивыми, а перманентные вращения вокруг средней оси у, т е. вращения о2, будут неустойчивыми.
§ 4. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ПО ПУАНСО
95
17. Устойчивые перманентные вращения. Мы будем исходить в нашем1 исследовании из интеграла моментов количеств движения и интеграла живых сил
А2р2 4- B2q'2 -j- С2/-2 == КІ, [(20)
Ap' + Bf + C/* = ^ (21'}
[первые интегралы уравнений Эйлера (5') (п. 9)] и рассмотрим то* соотношение, которое выводится из них путем исключения р2, q2 или г2, смотря по тому, какую устойчивость мы намерены исследовать, O1, о2 или о3.
Начнем с первого случая и положим
C1 = Kl — 2АЕ.
После исключения р2 из уравнений (20) и (21') мы получим первый квадратичный интеграл
В {В — A) ?2 + С (С—А) г2 =C1, (26)
в котором для всякого решения о уравнений (5'), определяемого заданными начальными условиями р=р0. q = q0, r — го ПРИ п0~
стоянная C1 в силу соотношений (25) будет положительной, если исключить, что вполне естественно, предположение q0 = г0 = 0, которое означало бы возвращение к случаю O1.
Если согласно обычному геометрическому представлению истолковывать значения, которые в любой момент принимают проекции q, г в решении о, как декартовы координаты точки, движущейся по плоскости, то можно сказать, что эта изображающая точка движется вдоль кривой, определяемой уравнением (26). Эта кривая в силу неравенств (25) и неравенства C1 > О всегда будет эллипсом.
Предположим теперь, что решение о соответствует начальным условиям, получаемым путем незначительного возмущения любого перманентного вращения O1 вокруг оси х, т. е. предположим, что q0 и г0 являются произвольно малыми, а ра близко к значению р, определяющему вращение O1. Значения постоянной C1, а следовательно* и осей эллипса (26) будут ничтожно малыми; мы видим таким образом, что при движении, определяемом из решения о, проекции q и г будут, сколь угодно долго оставаться близкими к q=r = 0.
