Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Обращаясь теперь к любому перманентному вращению о (г = г, р = q = О) вокруг гироскопической оси, мы увидим, что для любой регулярной прецессии о, вначале близкой к о, т. е. такой, что р0 и q0 близки к нулю, изображающая точка для р, q движется сколь угодно долго по окружности с весьма малым радиусом (21"), а потому р и q остаются всегда близкими к нулю, и устойчивость вращения о, таким образом, доказана.
Наоборот, рассмотрим любое перманентное вращение вокруг какой-нибудь экваториальной оси, которую, не нерушая общности, мы можем предположить совпадающей с осью х, т. е. обратимся к решению ^tiP = P, q = r — О). Для какой-нибудь регулярной прецессии о, вначале близкой к O1, т. е. имеющей р0 и q0 соответственно близкими крик нулю, окружность (21") будет иметь радиус не ничтожно малый, а близкий к р, так что при движении по ней изображающей точки проекция q изменяется по гармоническому закону в интервале, близком к интервалу от р до — р и, следовательно, большем конечного интервала от р/2 до—р/2, не зависящего от начальной разности между решениями о и о.
Это вполне ясно показывает неустойчивость всякого перманентного вращения вокруг экваториальной оси [6].
§ 5. Движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки
20. Чтобы изучить движение твердого тела S с одной неподвижной точкой при менее частных предположениях относительно характера действующих сил, чем это имело место в случае Эйлера, рассмотрим случай, когда твердое тело S, закрепленное в своей точке О, находится в однородном силовом поле. Таким однородным полем можно считать, например, поле силы тяжести, если рассматривать его в достаточно малой части пространства. Каково бы ни было рассматриваемое однородное поле, активные силы, под действием которых находится твердое тело, эквивалентны (не только векторно, но и механически) одной силе (результирующей сил, действующих на отдельные точки, или элементы твердого тела), приложенной в центре масс или в центре тяжести G тела. Ясно, что, не уменьшая общности, мы можем прямо обратиться к только что упомянутому
§ 5. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
99
частному случаю (тяжелое твердое тело с закрепленной точкой)' с другой стороны, мы можем исключить совпадение G с О, т. е. предположение, что тяжелое твердое тело закреплено в своем центре тяжести, так как в этом случае мы снова пришли бы к движению по инерции (п. 3).
21. Первые интегралы. При принятых предположениях мы начнем с определения в явной форме первых интегралов нашей задачи, получающихся из общих теорем о движении системы. Предположим, что в неподвижной системе осей Olrf, (с началом в О) ось С вертикальна и направлена вниз и что система Oxyz, неизменно связанная с телом, как обычно, совпадает с системой главных осей инерции, так что соотношения между проекциями вектора угловой скорости и результирующего момента количеств движения имеют вид
Kx = Ap, Ky = Bq, K1 = Cr. (4)
Заметим прежде всего, что так как внешние силы сводятся к весу и к реакции в точке О, моменты их относительно вертикали С, проходящей через точку О, равны нулю, и потому результирующий момент количеств движения относительно оси ОС сохраняет постоянную величину. Таким образом, теорема моментов количеств движения, если обозначим через х единичный вектор оси С (нисходящей вертикали) и через Ті/ї2> Ys его проекции (направляющие косинусы) на подвижные оси, даст первый интеграл
K1 = К • х = K3^1 + Куч а + Kj в = const = или же в силу (4)
Ap^1 +Bq^jr Cri3 = Kl (28)
Далее, так как сила тяжести есть консервативная сила (и связи
не зависят от времени), то для нашей задачи имеет место интеграл
живых сил
T-U=E,
где
T=±(Ap*+Bq* + Cr2) = i-AT-w, (29)
а потенциал Ь силы тяжести P (ср. гл. V1 п. 32) определяется равенством
U=P^0, (30)
где через C0 обозначена третья координата центра тяжести О относительно неподвижных осей. Если обозначим теперь через х0, у0, Z0 координаты самого центра тяжести G относительно подвижных осей, то будем иметь
C0 = х • (OG) = Y1X0 + -T2^o+ Ъго> (31>
U=P (.Tf1X0 4- Ifay0 + Ъг0); (30')
7*
100
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
на основании формулы (29) приходим к явному выражению для интеграла живых сил
-J (АР* + ВЧ% + О2) —Р (Ti-vo + TaVo + Тзго) = Е- (32)
Заметим, что из общих теорем о движении систем нельзя получить для рассматриваемой здесь задачи другие первые интегралы, кроме (28) и (32), до тех пор, пока не будут введены дальнейшие предположения о распределении масс внутри тела и относительно неподвижной точки 01J.
Так как речь идет о задаче с тремя степенями свободы, т. е. с тремя неизвестными функциями, то ясно, что эти два первых йнтеграла недостаточны для полного ее решения.
22. Дифференциальные уравнения движения. Согласно общим соображениям п. 1 мы придем к полной постановке задачи, отправляясь еще раз от основного уравнения
^ =AT+ о» X К = M; (3)
в рассматриваемом нами случае результирующий момент внешних сил относительно точки О приводится к моменту силы тяжести Px, т. е.
