Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, для определения р возьмем снова один из двух первых интегралов (20), (21'), например второй. Решив уравнение (21')» получим
= L (2Е — Bqi — Cr2).
Так как вначале величина р близка к р, а величины q, г остаются во время движения весьма малыми, то прямо заключаем, что р*
D6
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
в решении о сколь угодно долго остается в непосредственной близости к р. То же самое произойдет, если мы будем сравнивать указанное решение O1 с другим решением того же семейства,
соответствующим постоянному значению р, очень близкому к р (и нулевым значениям q, г). Поэтому движение Oj устойчиво. Аналогично доказывается и х устойчивость любого решения о3, т. е. устойчивость всякого перманентного вращения вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции (фиг. 15).
18. Неустойчивое перманентное ВРАЩЕНИЕ. Перейдем Теперь К ИС-следованию решения о2. Исключая q2 из уравнений (20) и (2Г), получим квадратичный интеграл ¦ вида
А (А — В) р2 — С (В — С) г2 = Ц — 2BE = са, (27)
где для общего решения о уравнений (5') постоянная C2 может оказаться как положительной, так и отрицательной (или нулем), в зависимости от выбора начальных условий р =р0, q — q0, г = г0, определяющих о. Здесь изображающая точка для одновременных значений р и г в решении а движется по гиперболе, которая может принадлежать тому или другому из двух сопряженных семейств гипербол, имеющих действительную ось тем меньшую, lIeM меньше будет по абсолютной величине с2 или чем ближе к нулю будут начальные значения р0, Г0.
Легко убедиться, что предположение об устойчивости решения O2 приводит к противоречию. В самом деле, предположим, что в некотором решении о, вначале близком к решению о2, величина q даже при беспредельном возрастании времени остается близкой к q — угловой скорости этого перманентного вращения. В этом предположении q сохраняет сколь угодно долго знак q, что же касается абсолютной величины q, то ее всегда можно считать большей | q |/2. Тогда, имея яз уравнений (5')
rp-p'r = JL[C(B-C)r*-A(A-B)p*]=-?q,
легко видеть, что секторная скорость изображающей точки для р, г относительно центра ветви гиперболы (27), по которой движется эта точка, сохраняет всегда один и тот же знак, а по абсолютной
2
§ 4. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ПО ПУАНСО
97
величине остается в течение всего движения больше ПОСТОЯННОЙ
точка, вынужденная двигаться по ветви гиперболы всегда в одном и том же направлении и так, чтобы своим радиусом-вектором описывать площадь, возрастающую беспредельно с течением времени, может только удаляться в бесконечность, вопреки предположению об устойчивости решения о2.
Таким образом, мы заключаем, что перманентные вращения вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующие решению о2, неустойчивы (фиг. 15).
19. Случай тела с гироскопической структурой. Предыдущие результаты получены в предположении, что три главных момента инерции относительно точки О неравны между собой; поэтому нужно отдельно рассмотреть случай, когда некоторые из моментов инерции совпадают. Однако бесполезно останавливаться на предположении A = B = C (эллипсоид инерции, сводящийся к шару), при котором, как мы знаем, все возможные движения твердого тела сводятся к перманентным вращениям, так что устойчивость каждого из них очевидна.
Остается, следовательно, гироскопический случай, характеризуемый равенством A = В (С может быть, безразлично, больше или меньше общего значения величин А и В). В этом предположении возможны, как мы видели, перманентные вращения (с постоянной произвольной угловой скоростью) вокруг бесконечного множества осей: гироскопической оси z и всех экваториальных осей. Мы покажем здесь, что устойчивыми будут перманентные вращения вокруг гироскопической оси, и неустойчивыми — все остальные.
Напомним прежде всего (п. 14), что при любом движении а твердого тела с гироскопической структурой (регулярная прецессия) проекция г угловой скорости на направление гироскопической оси остается постоянной; отсюда следует, что при исследовании устойчивости мы можем ограничиться рассмотрением двух экваториальных проекций р и q.
Заметим при этом, что при любом гироскопическом движении о угловая скорость
ю = е -(- rk
именно потому, что речь идет о регулярной прецессии, сохраняет неизменной свою величину; то же самое свойство имеет, следовательно, ее составляющая е в экваториальной плоскости, неизменно связанной с осью фигуры z\ поэтому, обозначив через р0 и q0 начальные значения р и q в движении а, будем иметь квадратичный интеграл
P2-H2=Pl-Y яЪ (21")
7 Зах. 2368. Т. Леви-Чивета и У. Амальди.
98
ГЛ. VIIi. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
который, естественно, можно было бы вывести также из интеграла (21) живых сил, принимая во внимание допущенные здесь частные предположения. На основании предыдущего синтетического рассуждения условное представление величин р и q посредством изображающей точки в данном случае реализуется на экваториальной плоскости концом составляющей е вектора ю, описывающим в течение прецессии окружность (21") с радиусом Yp0jTcIq постоянно в одном и том же направлении (и с постоянной скоростью).
