Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 42

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 230 >> Следующая


P = Tiij+ ^coscp, q = Y2^ — в sin в, /- = Y3^+'?, или, в более симметричной форме, уравнением

^ = PYi+ <772 + (г — ?)Тз.

которое получается из предыдущих путем умножения их соответственно на Yi> 7а> Y3 и последующего сложения.

Квадратура, определяющая ty, вводит новую произвольную постоянную, которая вместе с произвольными постоянными общего решения системы (34'), (35'), (36) дает шесть постоянных. От этих шести постоянных и должно зависеть в самом общем случае движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой (голономная система с тремя степенями свободы).

23. В виде дополнения к предыдущим общим ¦ рассуждениям выведем непосредственно из векторных уравнений (34), (35) два первых интеграла (28), (32), которые в п. 21 мы получили из общих теорем о движении системы.
§ S. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

103

Что касается интеграла (28) момента количеств движения (относительно вертикали С, проходящей через О), то заметим, что, умножая скалярно обе части уравнения (34) на х, мы придем к уравнению

х-АГ+х-(а>ХА0 = О,

так как вектор M перпендикулярен к единичному вектору х, а умножая скалярно обе части уравнения (35) на AT, получим

AT • х -J- AT • (ft) X *) = 0-

Достаточно сложить почленно полученные таким образом два уравнения и принять во внимание векторное тождество

х-(юХ/*0 = ДГ-(хХ») = —АГ-(»Х*),

чтобы получить уравнение

AT • х + х • K= 0,

из которого следует

AT-X = Const1 (28')

что и выражает искомый первый интеграл.

Чтобы получить интеграл живых сил, умножим скалярно обе части уравнения (34) на со dt, после чего получим

AT • Vidt — dU

или

dK • ю = dU,

так как вектор ю перпендикулярен к ю X К, и (гл. IV1 п. 3)

M-u>dt = dL = dU.

На основании соотношения между векторами AT и ю имеем dK • ю = Ap dp -J- Bq dq -(- Cr dr = dT, поэтому можно написать

dT = dU,

а отсюда путем квадратуры мы и придем к интегралу живых сил.

24. Последнее предварительное замечание. Если не вводится никаких специальных предположений относительно распределения масс, то общие теоремы о движении системы не приводят к другим первым интегралам, кроме интегралов живых сил и момента количеств движения (относительно вертикали); на системе уравнений (34), (35) это сказывается в том, что эта система, вообще говоря, не заключает в себе никаких соотношений в конечном виде между векторами о> и х, кроме соотношений (28), (32). Хотя, с аналитической точки зрения уравнение (35) допускает очевидный интеграл х2 = const,
104

ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

но для нашей механической задачи, в которой х означает как раз единичный вектор, этот интеграл неявно заключается в предпосылках, вместе с последующим условием, что постоянная в правой части должна быть равна 1; при таких условиях невозможно элементарным путем приступить к определению неизвестных векторов (Й И X в функциях от времени и, следовательно, к исследованию движения.

Все же важно уже теперь отметить, что на основании общей теоремы Лиувилля, которую мы уже упоминали в п. 10 и доказательство которой отложили до § 7 гл. X1 заДача о движении тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, будет интегрироваться только в квадратурах во всех тех случаях, когда для системы уравнений (34'), (35') возможно указать первый интеграл, отличный от первых интегралов живых сил и моментов.

25. Перманентные вращения тяжелого тела, закрепленного в одной из его точек. То обстоятельство, что мы не мОжем найти общий интеграл уравнений движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной из его точек, не исключает, конечно, возможности найти какие-нибудь частные их решения. Даже не вводя каких-либо ограничительных предположений о материальной структуре твердого тела, можно показать, как при помощи совсем элементарных средств удается выявить класс частных решений уравнений (34), (35), зависящий от одной произвольной постоянной.

Мы придем к таким решениям, исследуя вопрос о том, может ли тяжелое твердое тело, закрепленное в одной из своих точек, равномерно (или, как часто говорят, перманентно) вращаться вокруг одной и той же постоянной оси (в пространстве и в теле).

Прежде всего легко видеть, что ось перманентного вращения в пространстве может быть только вертикалью. Действительно, речь идет о том, чтобы показать, возможно ли удовлетворить уравнениям (34), (35) и, следовательно, их первым интегралам (28), (32), предполагая в них постоянной в пространстве угловую скорость о). Ho в таком случае, как мы знаем (т. I, гл. IV, п. 11), эта угловая скорость будет постоянной также и в теле, откуда следует на основании соотношений между векторами ю и К, что будет постоянным в теле также и момент К количеств движения; достаточно принять во внимание интеграл живых сил (32), который можно написать в виде

Af • е> — х • P • OG = Е,

чтобы заключить, что во время движения должно оставаться неизменным скалярное произведение х • OG и, следовательно, должна быть постоянной проекция вертикального единичного вектора х на направление прямой OG. Ho легко также видеть, что остается постоянной (в теле) и проекция этого вектора на плоскость, перпендикуляр-
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed