Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
105
ную к OG. Действительно, из уравнения (34) мы видим, что так как вектор AT исчезает, а векторное произведение w X AT остается постоянным (в теле), то таким же будет и векторное произведение
х X OG. Отсюда следует, что вертикаль, проходящая через точку О, неподвижна в теле, т. е. что ось вращения может быть расположена только вертикально.
Заметим, кстати, что если при движении тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, остается постоянным в теле момент AT, то постоянной (в теле) будет в силу соотношения между W и AT и угловая скорость со; а так как она будет тогда неизменной и в пространстве, то мы опять приходим к перманентным вращениям, которые поэтому можно определить как такие движения, в которых сохраняется постоянным внутри тела результирующий момент AT количеств движения.
Таким образом, наша задача приведена к тому, чтобы определить, возможно ли удовлетворить уравнениям (34), (35), полагая в них (О = vx, где V обозначает неизвестную постоянную, дающую по величине и по знаку угловую скорость (скалярную) предполагаемого вращательного движения твердого тела вокруг вер'тикали, направленной вниз.
При таком предположении уравнение (35) будет тождественно удовлетворено, потому что, с одной стороны, имеем ft) X * = 0 вследствие параллельности векторов <о и х, с другой стороны, X = Q вследствие того, что единичный вектор х, как принадлежащий оси вращения, будет иметь неизменное направление также и относительно тела.
Поэтому остается только удовлетворить уравнению (34), которое вследствие неизменности относительно тела момента AT количеств движения, в предположении ft) = vx, приводится к виду
vxXAT = Я OGXx,
или
X X[vAT+P- OGl==O1 (37)
причем надо отметить, что вектор OG, так же как и векторы х и AT» остается постоянным внутри тела.
Поэтому все сводится к тому, чтобы убедиться, можно ли подходящими значениями Yi> Y2, Ъ и v удовлетворить уравнению (37), принимая во внимание, что проекции на подвижные оси вектора х суть Yi, Y2, а вектора AT—
Kx = A^li Ky = BvY2, Kz= Сч Y3. (38)
Освободимся теперь же от частного случая v = 0, соответствующего возможным состояниям равновесия твердого тела. Уравнение (37)
106
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
приведется тогда к виду
к X OO = о
и выразит, что ось OG, проходящая через центр тяжести, как мы уже знаем, должна располагаться по вертикали или вниз (устойчивое равновесие), или вверх (неустойчивое равновесие).
Исключая теперь эти два случая равновесия, т. е. предполагая v^fcO, заметим, как это следует из уравнения (37), что необходимое условие для того, чтобы и = vx давало угловую скорость перманентного вращения твердого тела, заключается в том, чтобы
три вектора to, AT, OG были компланарны (фиг. 16), т. е. чтобы было*)
(ATX®) -OG = 0.
(39)
Это скалярное уравнение, если принять во внимание соотношение (38),
по сокращении на v2 = to2, можно написать в виде
^T1 Ї
Въ Тз
72 Тз = 0
Уо irO
(390
или в виде
(В —С) Xtftf3+ (C-
¦ А)Уо їзїі + {А — В) Ztftf2 = 0. (39")
Оно определяет, следовательно, внутри тела (в координатах > Т2> Тз прямой, принадлежащей пучку с центром в О) конус второго порядка. Такой конус, зависящий только от структуры тела и от положения в нем закрепленной точки, называется конусом Штауде (относительно точки О) — по имени математика, впервые разрешившего задачу, которой мы здесь занимаемся !); поэтому мы можем утверждать, что те прямые в твердом теле, которые могут быть осями равномерного вращения, надо искать исключительно между образующими конуса Штауде.
Естественно, что этот конус может выродиться в пару плоскостей (различных или совпадающих) или даже сделаться неопределенным. Ho
*) Из равенства (37) следует, что геометрическая сумма чК + Р- OG
параллельна вектору х; это невозможно, если три вектора К, OG и х не лежат в одной плоскости. {Прим. ред.)
!) CreHe, т. 113, 1894, стр. 318; Leipz. Ber., т. 51, 1899, стр. 219.
§ 5. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
107
эти случаи могут встретиться лишь при частных предположениях относительно А, В, С и х0, у0, Z0, т. е. относительно распределения масс в теле и положения закрепленной точки по отношению к центру тяжести. Оставляя для упражнений исследование этих исключительных случаев, мы продолжим здесь рассмотрение общего случая, заключающегося в том, что закрепленная точка занимает в теле любое положение относительно центра тяжести и что соответствующие главные моменты инерции А, В, С все различны.
Прежде чем идти далее, добавим два важных замечания.
Сначала посмотрим, как при допущенных предположениях находятся пять независимых прямых, принадлежащих конусу Штауде (т. е. ровно столько, сколько нужно для его определения), которые определяются внутри конуса распределением масс и положением закрепленной точки. Этими прямыми будут:
1) три главные оси инерции (относительно точки О), направляющие косинусы которых имеют соответственно значения 1, 0, 0; O1 1, 0; O1 0, 1;
