Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 35

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 230 >> Следующая


11. Геометрическое представление движения по Пуансо. Если

требуется определить только геометрическую картину движения относительно неподвижных осей, т. е. последовательность положений, принимаемых телом в его движении вокруг точки О, отвлекаясь от закона движения, то отпадает необходимость в интегрированиях, указанных в предыдущем пункте; достаточно будет знать только

первые интегралы п. 9, т. е. интегралы моментов количеств движения и интеграл живых сил

K = K0, (19)

T=E. (21)

Принимая во внимание эти два интеграла (один векторный и другой скалярный), можно сделать наглядным закон, согласно которому вращается твердое тело вокруг точки О; мы придем при этом к результату, который, как увидим, представляет известную аналогию с результатом, относящимся к траекториям мгновенного центра вращения для твердых фигур, движущихся в плоскости (т. I, гл. V, § 2).

Для этой цели рассмотрим эллипсоид инерции твердого тела относительно его неподвижной точки О. В каждый момент полупрямая (мгновенная ось вращения), на которой лежит вектор ю, предполагаемый приложенным в точке О, будет пересекать поверхность этого эллипсоида в некоторой точке Q, которую Пуансо назвал полюсом (в рассматриваемый момент) (фиг. 11). Далее, на основании равенства, связывающего векторы о> и К (гл. IV, п. 18), мы заключаем, что при движении тела вектор К всегда будет перпендикулярен
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПО ПУАНСО

87

к плоскости х, касательной к эллипсоиду в точке Q, и что расстояние 8 от точки О до этой плоскости в любой момент определяется выражением

У2Г

8 = -

К

Так как в настоящем случае вектор К является неизменным в пространстве и живая сила постоянна, то заключаем, что плоскость т, касательная к эллипсоиду в полюсе, неподвижна в пространстве, как плоскость, которая имеет неизменное положение и постоянное расстояние от неподвижной точки О.

В то время как тело движется около точки О, вместе с ним движется также и ,Неизменно связанный с ним эллипсоид, но так, что он во всякий момент касается неподвижной плоскости "г в мгновенном полюсе Q (фиг. 12); а так как эта точка касания (положение которой, вообще говоря, изменяется как на эллипсоиде, так и на плоскости) принадлежит всегда мгновенной оси вращения, то движение твердого тела происходит так, как если бы эллипсоид инерции, связанный с телом, ¦катился без скольжения по неподвижной плоскости.

Две кривые, описываемые при движении твердого тела полюсом соответственно на эллипсоиде и на плоскости, называются (по Пуансо) полодией (первая) и герполодией (вторая). Если указаны эти две кривые, то геометрическая картина движения (т. е. картина движения, оставляющая в стороне закон движения во времени) будет определена однозначно.

На основании того обстоятельства, что величина вектора AT остается постоянной, легко было бы доказать, что полодия есть кривая четвертого порядка, получающаяся при пересечении эллипсоида инерции с другим эллипсоидом, а герполодия, вообще говоря, есть трансцендентная кривая (мы возвратимся к этому в упражнениях)1).

!) Для более подробного изучения можно рекомендовать уже упоминавшиеся сочинения Аппелля и Лекорню, а также специальные сочинения по динамике твердого тела. Cm., в частности, Klein—Sommerfeld, Ueber die Theorie des Kreisels, Leipzig, 1897—1910; A. Gray, A treatise on gyro-statics and rotational motion, London, Macmillan, 1918*).

*) Cm. также Суслов Г. К., Теоретическая механика, 1946; Жуковский Н. E., Механика системы. Динамика твердого тела, 1939. (Прим. ред).
88 ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ точки

Наряду с предыдущим геометрическим представлением спонтанного движения твердого тела, закрепленного в одной точке, принадлежащим Пуансо, рассматривались и другие, менее простые, но столь же изящные и наглядные.

Так, Сильвестр *) заметил, что при движении твердого тела по инерции всякая поверхность второго порядка, гомотетичная с другой такой же поверхностью, гомофокальной с эллипсоидом инерции, катится без скольжения по плоскости, параллельной т и вращающейся равномерно вокруг перпендикуляра, опущенного на нее из точки О.

С другой стороны, Мак-Куллах2), преобразовывая представление Пуансо при помощи инверсии относительно сферы с центром в О и радиусом, равным 1 (которая скользит по самой себе во всяком движении вокруг О), заметил, что при движении по Пуансо так называемый гирационный эллипсоид или взаимный эллипсоид инерции

А ' В ' С ’

движется таким образом, что постоянно проходит через неподвижную точку, расположенную на линии действия вектора AT (и, следовательно, через диаметрально противоположную точку).

Наконец, Джеббиа3), обобщая результат Сиаччи4), заметил, что» при движении по Пуансо всякая поверхность второго порядка с центром в О, гомоцикличная с эллипсоидом инерции, катится без скольжения по неподвижной поверхности вращения второго порядка (вокруг линии действия *); или также (если преобразовать предыдущую теорему при помощи инверсии относительно сферы с центром в О и радиусом, равным 1) всякая гомофокальная с эллипсоидом инерции поверхность второго порядка катится без скольжения по поверхности вращения второго порядка (вокруг полярного для линии действия /С диаметра).
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed