Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому по отношению к обычным подвижным осям Oxyz, в которых Oz есть гироскопическая ось, структурные предположения,
!) Об устойчивости этих перманентных вращений твердого тела, закрепленного в одной точке, см. Е. J. Routh, Dynamics и пр., т. И, § 214; J. Hadamard, /lssoc. franpaise, Bordeaux, т. 24, 1895, ч. II, стр. 1; R. Grammel, Math. Zeitschrift1 т. 6, 1920, стр. 124.
112
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
характеризующие этот случай, выражаются в обозначениях предыдущего параграфа тремя условиями
A==B, л:0=.у0 = 0; (41)
достаточно представить себе, что ось Oz направлена от О к G, чтобы можно было считать, что zQ > 0. Точка полупрямой OG, находящаяся от точки О на расстоянии, равном 1, называется вершиной гироскопа. Вершина лежит на поверхности сферы с радиусом, равным 1, и с центром в закрепленной точке О.
Условия нашей задачи получатся при этом из условий задачи предыдущего параграфа о движении какого угодно твердого тела вокруг одной из его закрепленных точек, путем добавления условий (41), и также, если угодно, условия >0.
Необходимо теперь же отметить, что момент (33) силы тяжести,
так как вектор OG лежит на оси z, имеет в данном случае вид
M = PzJt X х- (33')
Что касается дифференциальных уравнений, то мы возьмем их прямо в форме (34'), (35'). Ограничиваясь здесь пока уравнениями Эйлера (34'), мы видим, что третье из них (совпадающее в этом случае с уравнением (15) п. 7) приводится в силу условий (41) ж: виду
Cr = O
Wi непосредственно дает новый первый интеграл
г = const, (42)
что и делает возможным интегрирование задачи в квадратурах.
Отсюда следует, что во всяком движении тяжелого гироскопа проекция угловой скорости его на гироскопическую ось (гироскопическая угловая скорость) остается постоянной.
Два других уравнения (34') (равносильные в совокупности экваториальному уравнению (16) п. 7) принимают вид
Ap — (A — C)rq = — Pztf2, I Aq + (А — С) rp = Pz0^u ]
где в силу только что сказанного г означает постоянную.
Естественно, что остаются в силе и два первых интеграла, полученных в общем случае (п. 21), т. е. интеграл (28) момента количеств движения относительно вертикали и интеграл (32) живых сил, которые здесь на основании условий (41) и равенства (42) приводятся соот-
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
ИЗ
ветственно к следующим:
А (pTi + ^T2) + СгЪ = *?. (44)
= ? (45)
при постоянном г.
28. Определение угла нутации. Обратимся теперь к дифференциальным уравнениям (35'). Принимая во внимание оба первых интеграла (44), (45) и общие уравнения (35') (достаточно третьего), легко выделить уравнение для определения переменного Y8 = cos 0 и свести задачу к интегрированию уравнения первого порядка Типа
s'2 = $(s),
уже встречавшегося несколько раз (см., в частности, гл. I, § 6).
Положим Тз — cos 6 = s и введем для упрощения формул более короткие обозначения
С 2 Pz0 „ Е Kr
А = С’ — = P > Т = Р*’ Г = рХ; (4б)
здесь сир представляют собой две положительные постоянные (первое — отвлеченное число, а второе имеет размерность угловой скорости), зависящие исключительно от распределения масс в теле; а А, fe, X так же как и Е, и г, от которых они отличаются соответственно множителем (однородности), суть постоянные интегрирования, приведенные к отвлеченным числам.
При этом соглашении первые интегралы (44), (45) принимают вид
PTi + ЯЪ = P (6 — c^s), (44')
p* + 0* = pe(s + A — cJl»); (450
поэтому, подставляя в тождество
(PTi + ЯЪ)2 + (РТа — ?Ti)2 = (Р2 + <72) (1 ~ Ta) =
= (p2 + 92)(l-s2) (47)
и принимая во внимание третье из уравнений (350, получим для 5 упомянутое выше уравнение
isa=( I — S2) (s + h — Cl2) — (cks — k)8. (48)
Это уравнение представляет собой в некотором смысле резольвенту задачи о движении тяжелого гироскопа, потому что (мы покажем это в п. 33) как только будет определено путем интегрирования уравнения (48) выражение для s = в функции от времени, так при помощи алгебраических преобразований и квадратур найдутся
S Зм. 2368. Т. Леви-Чнвнта и У< Амальди.
114
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
аналогичные выражения и для других неизвестных функций, а именно для Yi, Ya, р, Я (г, как мы видели, постоянно), после чего уже можно определить углы Эйлера <р, ф.
Уравнение (48) в свою очередь может быть проинтегрировано в квадратурах (гл. I, п. 15), и так как функция в правой части есть многочлен третьей степени относительно s, то общий интеграл выразится в эллиптических функциях.
Таким образом, установлено приведение к квадратурам задачи о движении тяжелого гироскопа.
29. Замечание о случае, когда гироскопическая скорость равна нулю. Мы не будем здесь останавливаться на выкладках, необходимых для интегрирования дифференциального уравнения (48), а изучим характер общего решения, применяя к этому уравнению критерии, установленные в общем случае в § 6 гл. I для исследования интегралов уравнений этого типа.
Такое исследование для настоящего случая упрощается путем исключения частного предположения A = O, т. е., в силу последнего из равенств (46), г = 0, которое, как мы здесь покажем, приводило бы к разобранной уже задаче, а именно к движению сферического маятника (гл. II, пп. 48, 49).
