Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Ap — (В — С) qr = О, Bq — (С—А)гр --- -- О, Cr — (А — В) pq = О,
(5')
которые, в отличие от того, что имеет место при общем предположении относительно действующих сил (п. 1), содержат в себе исключительно р, q, г и их производные, так что три уравнения (5') достаточны для определения закона изменения этих величин с течением времени, т. е., по существу, движения тела. Активные силы, не входящие в уравнения (5'), никакого влияния на движение тела не оказывают, и все их действие в силу первого основного уравнения
6*
84 ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ точки
выражается в возникновении реакции закрепленной точки. Твердое тело движется вокруг неподвижной точки так, как если бы никаких внешних активных сил не было и сказывался бы только эффект начального состояния движения. По этим соображениям рассматриваемое здесь движение носит название движения по инерции или спонтанного движения. Мы будем называть его движением по Пуансо, по имени того,
кто дал ему геометрическое истолкование, которым мы будем заниматься в п. 11 [4].
9. Первые интегралы. Мы видели в предыдущем пункте, что в настоящем случае, для движения Пуансо, второе основное уравнение (1) или эквивалентные ему уравнения Эйлера (5) допускают интеграл (векторный) момента количеств движения
K = K0. (19)
Отсюда следует, в частности, что при движении по инерции величина результирующего момента количеств движения к остается неизменной, что на основании равенств (4) можно представить в виде
Л3р2 +W+CV==^. (20)
Это соотношение представляет собой так называемый интеграл(скалярный) момента количеств движения (интеграл площадей).
Легко видеть, что существует еще один первый интеграл уравнений (5'). Действительно, когда речь идет о системе со связями, не зависящими от времени, справедливо уравнение живых сил (гл. V, п. 30)
dT = dL,
где dL есть элементарная работа внешних сил; с другой стороны, эта элементарная работа, которая для всякого закрепленного в одной точке твердого тела определяется (гл. IV, п. 3) выражением M • w dt, здесь будет постоянно равна 0 вместе с моментом M внешних сил. Поэтому
теорема живых сил принимает вид dT = 0, откуда, интегрируя, получим
T=Const=Tf; (21)
это и есть интеграл живых сил-, вспоминая известное выражение живой силы твердого тела, закрепленного в одной точке (гл. IV, п. 15),
T=Iat-W,
мы можем написать интеграл (21) в виде
Ap2 + Bq2 + Cr2 = 2 Е. (21')
Необходимо заметить, что постоянную величину кинетической энергии можно также рассматривать как постоянную величину полной энер-
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПО ПУАНСО
85
гаи, так как здесь не может быть изменения другого вида энергии (потенциальной), ибо элементарная работа в данном случае постоянно равна нулю.
10. Об интегрировании уравнений движения твердого тела по инерции. Мы видели в предыдущем пункте, что для уравнения (5') существуют четыре первых скалярных интеграла, а именно интеграл живых сил и три интеграла, получающиеся путем проектирования на неподвижные оси интеграла моментов количеств движения (19). Отсюда на основании теоремы Лиувилля, которую мы установим в гл. X, можно непосредственно заключить, что уравнения (5') движения тела по инерции интегрируются в квадратурах.
Мы не будем останавливаться на этом интегрировании, ограничиваясь лишь утверждением, что квадратуры, к которым мы таким образом приходим, будут эллиптического типа.
Здесь же мы покажем, что после определения угловых скоростей p,q, г в функции времени t в данном случае достаточно одной квадратуры и некоторых алгебраических преобразований, чтобы найти в функции времени и углы Эйлера, определяющие положение системы Oxyz относительно системы OItlC; в общем же случае для этой цели необходимо интегрирование (невыполнимое в квадратурах) уравнения Риккати (т. I, гл. IV, § 8).
Чтобы доказать это, удобно использовать интеграл (19), т. е. принять во внимание неизменность момента К относительно осей Olrf.. Приняв неподвижную ось С направленной по этому моменту и обозначив через Y1, Y2, Y3 направляющие косинусы оси ? относительно системы главных осей инерции, мы можем написать уравнения (4) в виде
Ki1 = Ap1 КЪ = Bq, Kl3 = Cr,
так что, принимая во внимание известные соотношения (т. I, гл. III, п. 32)
Yi = sin® sin 0, Ya- costP sin^i 73 = cos0, (22)
получим уравнения
К sin © sin 0 = Ар, К cos © sin 0 = Bq, /Є cos 9 = Cr, (4') откуда тотчас же выводим соотношения
їх Cr . Ap
COS0 = T, tg<p = g?,
которые дают 0, <р в функции от р, q, г, т. е. от t.
Что же касается 4, то мы будем исходить из известных формул (т. I, гл. III, п. 34)
86
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
из которых путем исключения Ь получим
.• _р sin tp 4- q cos tp
‘ sin 9
Так как из уравнений (4') и из только что написанных выражений для р и q следует
р sin 0 -j- q cos 6 = , K2 sin2 9 = Л2р2 -j- 52^2,
то заключаем, что
. Ар*+ Bq* .
Y — A A*p* + B2q2 ’
теперь достаточно однэй квадратуры, чтобы вычислить ф в функции от времени.
