Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Необходимо, однако, сейчас же заметить (и мы разъясним это на приводимом ниже примере), что такое несоответствие можно объяснить, отбрасывая гипотезу о непрерывности явлений движения или, точнее, допуская, что в указанных выше особых случаях наступают почти мгновенно резкие изменения состояния движения. Они-то и служат отправной точкой для получения уравнений, определяющих распределение ускорений, совместимое с законами трения. Важно заметить, что такие резкие изменения состояния движения часто встречаются в действительности и изучаются в теории так называемого импульсивного движения (ср. гл. XII).
27. Пример, который мы хотим здесь рассмотреть, относится к круглому тяжелому диску, который, будучи вынужден двигаться в вертикальной плоскости, может катиться и скользить по горизонтальной неподвижной и шероховатой прямой Q?, как уже предполагалось в § 6, но с той существенной разницей, что диск не является
однородным. Обозначим по-прежнему через г радиус диска, через V скорость (горизонтальную) геометрическую центра С, через ш— угловую скорость (со знаком в смысле, установленном в п. 14) и введем координаты х0, у0 центра тяжести G относительно С (точнее, относительно двух осей с нача-
JF лом в С, параллельных и одинаково направленных с неподвижными осями QSyj) и расстояние р = CO центра тяжести от С; обозначив через 6 угол полупрямой CG с осью будем иметь X0 = р cos 0, y0 = psin© и, следовательно,
X0 = - шу0, у0 = сох0,
так как «= б. Разлагая движение диска на поступательное движение, определяемое движением центра С, и вращательное движение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (т. I, ч. 1, гл. III § 5, п. 14), мы найдем для проекций скорости точки G на оси 25 и Qij выражения V—а>у0, шх0; если представим себе, что диск находится под действием исключительно
а
О
Фиг. 7.
S а. КРИТИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАКОНОВ ТРЕНИЯ 57
своего веса р = mg и реакции опоры (в точке О) с составляющими А (трение скольжения) и Jv (нормальная реакция), то уравнения движения центра тяжести примут вид:
<»Уо) = А> ((BX0) = TV-р. (61)
Результирующий момент двух внешних сил относительно центра тяжести G сводится к моменту реакции и имеет величину (r-\-y0) А—JC0A/, так что скалярное уравнение моментов относительно центра тяжести принимает вид
Ttth2Oi = (/• -j- _у0) Л — X0A/. (62)
Исключая угловое ускорение а> из этого уравнения и из второго из уравнений (61) и подставляя вместо X0 его значение — шу0, мы придем к уравнению
тУо^ — Хф {('• + УоМ —-Vv)-^H-P = O. (63)
Покажем теперь, как можно осуществить и притом сколь угодно большим числом способов неоднородный диск и сообщить ему такое движение, что уравнение (63) будет несовместимо с законами трения.
Прежде всего представим себе такое состояние движения: 1) пусть диск находится в соприкосновении со своей опорной прямой и расположен так, что центр тяжести его G лежит на горизонтальной полупрямой, проведенной через С в сторону возрастающих абсцисс, так что вначале имеем X0 = р, Jy0 = O; 2) в начальный момент t0 сообщается диску поступательная скорость V>0 вдоль опорной прямой (ш0 = 0).
В этом случае уравнение (63) для начального момента, когда А = — fh, дает
*{i—(64)
покажем, что, распределяя подходящим образом массу диска, всегда можно добиться того, чтобы количество
Я = ?(р+/г) (65)
было больше единицы, в силу чего из уравнения (64) будем иметь, что АГ<0; это неравенство противоречит предположению, что диск действительно опирается на прямую.
Чтобы показать, как это достигается, обратимся к особенно простому случаю, когда неоднородность диска происходит от одной единственной массы /K1, присоединенной в некоторой (эксцентричной) точке P однородного диска с массой от0. Обозначив через P1 расстояние CP, которое мы будем предполагать меньшим г, и положив TO = OT0-I-OT11 будем иметь прежде всего
58 ГЛ. VII. ОБЩЙЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
или же, обозначая через k отношение т{/т0,
P-TFTFP" <66>
Для вычисления 88, квадрата радиуса инерции диска, вспомним прежде всего, что для однородного диска радиуса г и массы т0 момент инерции относительно центра С {т. I, гл. X, п. 33) равен fft0ra/2, а относительно точки G, по теореме Гюйгенса, он равен
mO (?- "Ь P3 ) >
так что момент инерции диска с добавочной массой W1 относительно его центра тяжести G определится равенством
ж82 = т0 + р2 ) + W1 (Pl — р)2.
Отсюда, принимая во внимание равенство (66), получим
^пЫт+тЬрО-
и, наконец, для количества Н, определяемого равенством (65), получим выражение
Н— 2ftpi {fept Ч~(1 Ч~ Щ/г}
2^ + (1 + *)'8 '
Будем теперь рассматривать H как функцию одного аргумента k, считая заданными г, f и P1, кто равносильно тому, что однородный диск и положение P добавочной массы M1 считаются неизменными, а масса Tti1 меняется.
Так как речь идет о рациональной функции, всегда положительной при k > 0 и стремящейся к бесконечности вместе с k, то непосредственно ясно, что если взять достаточно большое k, т. е. достаточно большую добавочную массу Ttti, то будем иметь //> 1 и, следовательно, N <. О, что противоречит экспериментальным данным.
