Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, при перемещении ds = | г ± а | d<f центра С нтс днска, приложенный в этой точке, совершает элементарную работу
dU — ± mg (г zt a) sin tp d<f,
где знак надо выбрать таким образом, чтобы было rf[/s 0, смотря по тому, будет ли перемещение ds нисходящим или восходящим. Движение определится уравнением живых сил dT = dU, которое интегрируется непосредственно.
Если кривая X есть окружность с радиусом г>« и диск катится внутри нее, ю у T надо взять знак минус, а потенциал U, так как теперь в качестве
УПРАЖНЕНИЯ
65
угла ^ можно взять центральный угол, соответствующий дуге окружности X, соединяющей самую нижнюю ее точку с точкой Р, определится равенством
U ss mg (г — a) cos ср -f- const.
В этом случае дйск ведет себя как простой маятник длиной
(г-а)( 1+Э-
14. На основании формул п. 11 показать, что уравнения, определяющие
малые колебания двойного маятника (вертикального), около конфигурации устойчивого равновесия Cf1 = = О будут иметь вид
Ay + mr (r’tf -f- Xcp1) -(- tngry = О,
A^i + ml (rcp -f Xf1 -f g (/Mjr1 -f ml) = 0.
Положив
A JLr ^ і Лі 4- ml* = mlr = у
mr ' т\Г\ + ml ’ In1Tl -j- ml ’
доказать, что I представляет собой приведенную длину второго маятника S в предположении, что точка О является неподвижной и что 1' также есть приведенная длина, но не главного маятника Si, а воображаемого маятника S1, который получился бы из S1, если бы мы в О поместили всю массу маятника S.
Доказать также, чтобы этим воспользоваться немного позже, что gjl и gjV представляют соответственно квадраты постоянных частот маятников S
и s[.
Уравнения малых колебаний можно написать в виде X<fi -f- /<р -f- g<? — О,
X/‘<Pi + /'if-bg'h = 0;
рассмотрение показательных решений вида <р — ^eizt, = р.е»^ приводит к биквадратному характеристическому уравнению
— U'г* +(g — I'z'A) (g — Iz2) = о.
Проверить, основываясь на значениях величин I, V, I', что в этом уравнении коэффициент (I'I — Il') при Zi всегда будет положительным, так что при Z2-*-со многочлен в левой части стремится к положительной бесконечности. Так как этот многочлен при Z2 = O принимает тоже положительное значение g2 и остается постоянно отрицательным в интервале, имеющем концами gfl' и gjl, то можно убедиться, что характеристическое уравнение для Z2 даех два положительных значения: одно — меньшее меньшего из двух значений gfl', g/l, другое — большее большего из них.
Замечая, что величина | z | пропорциональна главной частоте колебаний, вывести, что главные частоты двойного маятника являются внешними по отношению /с интервалу, заключенному между частотами двух воображаемых маятников S и S1.
15. Два физических маятника S, Si имеют одну и ту же плоскость качаний и точки подвеса О, Oi, распрложенные на одной и той же вертикали-но в то время как маятник S находится в нормальном положении, т. е. ¦с центром тяжести G под точкой О, маятник St оказывается перевернутым так, что центр тяжести его Gi лежит над точкой O1. Это достигается посред-
5 Зак. 2368. Т. Левн-Чивнта и У. Амальдн
66 ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
ством следующего приспособления: маятник S1 оканчивается стержнем, имеющим направление OiO1 и несущим на конце шарик, который может скользить без трения вдоль цилиндрической полости, просверленной в теле маятника S. Таким образом, система приведена только к одной степени свободы.
Обозначив через I, I1 длины двух маятников, через т, тх — их массы и положив OG = г, O1O1 = T1, проверить, что неравенство mrl\ ]> ItixTxV1 дает условие того, что конфигурация, в которой OG и O1O1 будут расположены на одной прямой (вертикально), является положением устойчивого равновесия, и доказать, что продолжительность малых колебаний (простых) около такой конфигурации определяется выражением
где A, A1 обозначают моменты инерции маятников относительно соответствующих осей подвеса.
16. В возникающем движении неизменяемой плоской системы, выходящей из состояния покоя, распределение ускорений при обычном значении; символов определяется формулой
Пользуясь основными уравнениями (21'), (221, вывести отсюда, в частности, что составляющие возникающего ускорения любой точки P суть
где х,у обозначают координаты точки P относительно осей с началом в центре тяжести.
17. Однородный стержень AB поддерживается в горизонтальном положении равновесия посредством двух нитей равной длины /, прикрепленных к стержню в точках А к В и подвешенных за две точки A1 и B1, вертикально расположенные соответственно над А и В.
Воображая, что нить B1B перерезана, определить начальное натяжение T второй нити.
Для этой цели удобно применить формулу предыдущего упражнения к точке А, о которой известно, что она должна оставаться на расстоянии I от неподвижной точки Aj. Поэтому ее начальное ускорение может быть только горизонтальным. С другой стороны, заметим, что внешние силы сводятся к весу, приложенному к центру тяжести G, и к натяжению T нити A1A, действующим в вертикальном направлении — одна вниз, другая вверх.
