Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Мы сделаем здесь одно предварительное замечание, по существу чисто интуитивное, заключающееся в том, что ускорение во всяком случае не будет отрицательным (V^O), если цилиндр исходит из состояния покоя, т. е. что центр тяжести, если он не остается неподвижным, движется, опускаясь. Это естественное предположение строго оправдывается на основании теоремы живых сил. Если мы, как обычно, обозначим через T живую силу, через U—потенциал силы тяжести и через L—работу сил трения, то уравнение живых сил будет иметь вид
dT — dU = dL.
Отсюда в силу того, что величина dL, как относящаяся к силам, имеющим характер пассивных сопротивлений, не может быть положительной, мы выводим
dT—dU-^b
и, следовательно, интегрируя от любого начального момента и принимая во внимание, что в начале движения живая сила равна нулю,, будем иметь
T-(U-U0)^O. (47)
Ho если мы обозначим временно через Si, т) координаты центра тяжести G, то высота этой точки относительно горизонтали, проходящей через 2, т. е. проекция на вертикаль вектора 20 = 2<Э-{- OGr
§ 7. ТЯЖЕЛЫЙ ЦИЛИНДР НА ШЕРОХОВАТОЙ НАКЛОННОЙ плоскости 45
будет равна \ sin а -{- г cos а, так что с точностью до несущественной аддитивной постоянной можно положить
U = mgl sin а;
из равенства (47) в силу существенно положительной природы T ¦выводим, что ij— S0^O. Так как вследствие равенства нулю в начальный момент скорости точки О направление возникающего движения совпадает с направлением ускорения, то предыдущее соотношение для начала движения как раз дает
V>0.
Из этого же соотношения следует, что в моменты, непосредственно следующие за начальным, скорость V, если не остается постоянно равной нулю, будет положительной, так что на основании равенств (41), (43) для возникающего движения во всяком случае справедливо соотношение
г+Л> 0. (48)
После этого замечания обратимся прежде всего к обычным усложняй, когда предельное значение тяги при качении (hjrN) меньше предельного значения трения скольжения (/AOi т. е., как в п. 17, предположим
у С/ (32)
т будем различать для угла наклона плоскости три следующих возможных случая:
а) малый угол наклона, т. е.
б) средний угол наклона, т. е.
T-CtgaC/,, где, как и в п. 19, положено
Л=/+-Й(/-т); (з?)
в) значительный угол наклона, т. е.
tg«>/i-
Непосредственно за начальным моментом для цилиндра, выходящего из состояния покоя, возможны a priori следующие четыре состояния: 1) равновесие (со = 0, о = 0); 2) качение без скольжения о = 0); 3) скольжение без качения (ш = 0, <зф 0); 4) качение со скольжением (ш ф 0, о ^fcO). Мы покажем здесь, что при
46
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
А/г</ в зависимости от того, будет ли угол наклона плоскости в только что разъясненном смысле малым, средним или значительным, в согласии с эмпирическими законами трения могут встретиться соответственно первый, второй или четвертый случай, третий же никогда не может иметь места.
а) Малый угол наклона-, tg a ^kir.
В этом случае в согласии с законами трения будет иметь место равновесие.
Действительно, так как си и а равны нулю, то в силу соотношения (26) таким же будет и V, следовательно, на основании уравнения (41) будем иметь А — — т; это значение А, несомненно, удовлетворит условию (45), так как предположение а) в силу соотношения (32) влечет за собой соотношение tg a ^f.
С другой стороны, так как со = 0, то уравнение (42) дает Г = — г А. При найденном значении А будет Г = гг, а это значение I1 при 'tga удовлетворяет соотношению (46).
Наконец, можно и непосредственно убедиться, что предположение а) малого наклона совместно с условием (32) заключает в себе условие равновесия как по отношению к скольжению (tga^/, т. е. угол наклона не превышает угла трения), так и по отношению к качению (т. е., как это следует из рассмотрения равновесия, iga kjr).
б) Средний угол наклона: hjr < tg a ^ Д.
При этом предположении и, разумеется, при условии (32) возникающее движение будет чистым качением (си ф 0, a == 0).
Чтобы подтвердить это, заметим прежде всего, что в возникающем движении угловая скорость со будет отрицательной, так как на основании соотношения (26) V = — га, а V, как и во всяком другом случае, должно быть больше 0; поэтому из неравенства (46), которое здесь будет фигурировать как равенство, принимая во внимание, что Г и си должны быть с противоположными знаками, получим
определяющему трение скольжения А; теперь все сводится к проверке того, что значение, полученное таким образом для А, удовлетворяет условию (45). При найденном значении А условие (45) принимает вид
tga
Подставляя это значение Г в (44) и полагая в нем о = 0, придем к уравнению
§ 7. ТЯЖЕЛЫЙ ЦИЛИНДР НА ШЕРОХОВАТОЙ НАКЛОННОЙ плоскости 47
или
iSa +7? </(! + пр-)’> это соотношение есть не что иное, как заданное условие
в) Значительный угол наклона: tga>/j.
Мы утверждаем, что при этом предположении и при условии (32) возникающее движение будет качением со скольжением (<в ф О, афО).
Для такого движения соотношения (45), (46) будут равенствами,, откуда на основании неравенства (32) следует, что ) Г j <r ] А |; после этого из уравнения (42) получим, что знак <в будет совпадать со знаком А, который в свою очередь в силу законов динамического трения противоположен знаку з. С другой стороны, так как движение начинается из состояния покоя, то знак <в тотчас же вслед за начальным моментом будет совпадать со знаком <о, откуда окончательно видим, что а и <о имеют противоположные знаки. Ho так как
