Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
исчезнуть V или to, если не все три вместе; в этом случае движение
42 ГЛ. VH. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
затухает без какого бы то ни было обращения (горизонтального движения центра тяжести или вращения вокруг него).
Если первой приводящейся к нулю будет угловая скорость CO, то момент rw0jf2g, когда она исчезает, поскольку еще имеем о > О, принадлежит к фазе скольжения, так что мы оказываемся в условиях первого частного случая, в котором, как мы видели, движение центра тяжести до остановки происходит постоянно в одну и ту же сторону.
Остается, таким образом, рассмотреть только предположение, что из двух скоростей V и <0 первой обращается в нуль скорость V; это и будет единственным случаем, когда движение центра тяжести действительно изменит свое направление на прямо противоположное. В самом деле, так как скорость V должна постоянно убывать, начиная от* некоторого положительного начального значения, то тотчас же после момента t — V0Ifgt когда скорость обращается в нуль, она необходимо будет принимать отрицательные значения.
Из только что сказанного следует, что для того, чтобы выполнялась эта возможность, необходимо и достаточно, чтобы было
Vn-Aflg fg fig
или же в силу (38)
“О >!,(/¦ + j)v0, (39)
т. е. центр тяжести изменяет направление движения на противоположное (обязателько до прекращения скольжения) только тогда, когда в начальный момент скорость движения центра тяжести и угловая скорость вращения диска вокруг него стремятся перемещать диск в противоположные стороны и, кроме того, угловая скорость достаточно велика по сравнению со скоростью центра тяжести или, точнее, удовлетворяет соотношению (39).
§ 7. Тяжелый цилиндр на шероховатой наклонной плоскости
20. Уравнения движения. Рассмотрим однородный круговой цилиндр, лежащий на наклонной шероховатой плоскости, с образующими, перпендикулярными к направлению линии наибольшего наклона, и предположим, что на него действует только сила тяжести p = mg и, конечно, реакция опоры. Мы, очевидно, имеем здесь условия п. 12, так что можно изучать задачу о движении нормального сечения, проходящего через центр тяжести цилиндра, в плоскости этого сечения, принимая за неподвижную ось QS соответствующую линию наибольшего наклона, направленную вниз, и за ось Qtj — перпендикуляр к ней, направленный вверх (фиг. 5).
§ 7. ТЯЖЕЛЫЙ ЦИЛИНДР НА ШЕРОХОВАТОЙ НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 43
В каждой точке образующей касания возбуждаются, согласно законам трения, реактивные силы и моменты, которые после приведения к точке касания О в плоскости фигуры будут вполне определены нормальной реакцией N, направленной вверх, касательной реакцией А или трением скольжения, направленной по оси Qs, и, наконец, моментом трения качения, перпендикулярным к плоскости фигуры, проекцию которого на ось QC, образующую вместе с осями Si и 2т) правую систему осей, мы будем обозначать через Г.
После этих предварительных замечаний обратимся снова к основным уравнениям (21), (22) плоского движения. Так как здесь расстояние центра тяжести О от оси X остается всегда равным радиусу г цилиндра, то второе из уравнений (21) дает
N — р cos a = mg cos а, (40)
где а обозначает угол наклона плоскости к горизонту, а первое из Фиг- 5-
уравнений (21) и уравнение (22),
если попрежнему будем обозначать через V скорость (параллельную
оси ?!?) центра тяжести, через со = Ь — угловую скорость с надлежа-
щим знаком, через 8 — радиус инерции цилиндра относительно его оси, принимают вид
mV = mg sin а -)- А, (41)
/и82ш = г А -|- Г. (42)
Мы пришли, таким образом, к тем же уравнениям (24) и (25)
п. 16, с той только разницей, что в выражении нормальной реакции (24)
сила тяжести р заменена ее проекцией р cos а, а величины т и M в уравнениях (25) выражены здесь в виде
т = р sin a = mg sin а, M = T. (43)
Далее, если введем здесь также скорость скольжения
о = Vгаз, (26)
то из (41), (42) получим уравнение
,wa- = , + (1+jy + Z_r. (44)
Естественно, что Л и Г в силу эмпирических законов трения всегда должны удовлетворять соответственно условиям I A I -*CfN, |,Г I < hN, тде, как обычно, / и h обозначают коэффициент трения скольжения
44
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
и параметр трения качения. На основании равенств (40), (43) об® эти условия можно написать в виде
(45)
(46)
при этом надо принять во внимание, что в силу тех же эмпирических законов трения в условии (45) имеет силу исключительно знак равенства во всяком состоянии движения со скольжением (а ф 0) и в этом случае знак А будет противоположен знаку о, тогда как в условии (46) знак равенства будет иметь силу только тогда, когда налицо будет качение (ш ф 0); в этом предположении Г будет иметь знак, обратный знаку (о.
21. Исследование возникающего движения. Мы ограничимся здесь только рассмотрением движения цилиндра, возникающего из состояния покоя, но зато подробно разберем все возможные случаи, относящиеся к постоянным, определяющим задачу: углу наклона а, радиусу г и радиусу инерции S цилиндра, коэффициенту / и параметру к трения.
