Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
28. Это противоречие, как уже отмечалось в общем случае в п. 26* можно устранить, если принять во внимание, что в силу самого способа, каким диск приводится в движение, возникают мгновенные реакции, резко, изменяющие начальное состояние движения.
Вот более точное истолкование явления, хорошо согласующееся с экспериментальными данными: в тот самый момент, когда диску сообщается толчок вдоль горизонтальной опоры, в течение весьма короткого промежутка времени происходят сложные явления действия упругих сил, которые можно схематически представить в виде системы импульсов, имеющих определенную результирующую и определенный результирующий момент. Эта -система импульсов вызывает почти мгновенное уничтожение скорости скольжения и в то же время — возникновение определенной угловой скорости ш0, бла-
УПРАЖНЕНИЯ
59
годаря чему состояние движения сразу приводится к- виду, совместимому с экспериментальными законами трения.
Мы не будем дальше задерживаться на этом вопросе и ограничимся указанием на особенно простой пример, данный Клейном*).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что приведенная длина маятника, состоящего из однород-ного стержня, подвешенного за один из его концов, равна 2//3, если I есть длина стержня.
2. Из двух шаров с равными радиусами и одинаковым весом один заполнен равномерно распределенной массой, а другой является полым, с центром Тяжести в геометрическом центре. Если оба шара подвешены на нитях равной длины и приведены в колебательное движение, то полый шар колеблется медленнее сплошного. Мы имеем, таким образом, способ отличить один шар от другого.
3. Однородная палочка, изогнутая в виде дуги круга, колеблется в вер* тикальной плоскости под действием собственного веса около средней точки. Доказать, что длина эквивалентного простого маятника совпадает с диаметром той окружности, дугу которой составляет изогнутая палочка.
4. Тяжелый однородный твердый стержень AB своими концами скользит без трения по круговому желобку радиуса г, расположенному в вертикальной плоскости. Речь идет (если отвлечься от способа осуществления связей)
о тяжелом твердом теле, которое может вращаться около центра О желобка. Если обозначим через 2а центральный угол, стягиваемый стержнем, как хордой, то для приведенной длины I простого изохронного маятника будем иметь выражение
COS а +
В частности, I = г при а = 60°.
5. Неоднородный круговой диск радиуса R может вращаться вокруг своей оси, расположенной горизонтально. Обозначим через т его массу, через А — момент инерции относительно оси вращения, через г—расстояние центра тяжести G от геометрического центра О (находящегося на оси) и предположим, что на диск, кроме его собственного веса, действует, добавочный вес, плечо которого равно радиусу 7? диска, что можно осуществить посредством добавочной массы /H1, подвешенной на нити, имеющей ничтожную массу и обернутой вокруг диска.
Обозначая через 0 угол между OG и нисходящей вертикалью (отсчитываемый, как положительный, в ту сторону, в которую нагрузка, действуя одна, стремилась бы вращать диск), показать, что:
1) уравнение движения будет
A1Q = — g (mr sin в — m\R),
где
A1 = АтTi1R2;
2) равновесие возможно только при условии, что
— 1; т г ^
1J Zur Painleve’s Kritik der Coulombschen Reibungsgesetze, Gesamm, math. Abh. т. II, Berlin, 1922, стр. 704—709.
60
ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
3) при этом условии будут два положения равновесия, одно устойчивое, другое неустойчивое;
4) если 0О есть значение 0, соответствующее положению устойчивого равновесия, то малые колебания диска около этого положения будут определяться тем же уравнением, что н в случае простого маятника длиной
Ar
mgr cos 0О’
Замечая, что существует интеграл живых сил в виде
A1Q2 == 2g {mr cos 0 -f- TtiiR (0 + “)},
где а есть постоянная, рассмотреть возможные движения на основе общих рассуждений § 6 гл. I.
6. Составить уравнение движения тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг негоризонтальной оси.
Обозначая через а угол наклона оси к горизонту и пользуясь в остальном символами, принятыми для физического маятника, находим
л'б = — mgr cos a sin 0.
7. Дверь шириною Ь (и постоянной плотности) неправильно подвешена на петлях, так что ось вращения немного наклонена относительно вертикали (в плоскости, в которой дверь расположена, когда она закрыта). Когда ее открывают, вращая на угол я/2, она не остается открытой и закрывается через х секунд.
На основании предыдущего упражнения, в котором надо положить a = ic/2 — i, а также (т. I, гл. X, упражнение 16) А/т = &2/3, г = Ь/2, определить і в функции от Ь и х (которое удобнее измерять, чем /).
Получится
sini=3p(2’62)2>
где 2,62 есть численное значение так называемого лемнискатного интеграла
к/2
Г <*9
J У cos 0
о
(см., например, Э. Чезаро, Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых, ч. II, 1914, § 764, с, стр. 362).
8. Горизонтальная ось а физического маятника находится в поступательном горизонтальном движении со скоростью х, изменяющейся с временем. Показать, что по теореме Кориолиса движение маятника вокруг а будет происходить так, как если бы эта ось была неподвижна и к каждому материальному элементу dm тела была приложена сила инерции переносного движения— йтх, что равносильно предположению, что к центру тяжести, помимо веса, приложена сила — тх.
