Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 27

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 230 >> Следующая


Предполагая ось Gy вертикальной и направленной вверх, достаточна выразить, что вначале вертикальное ускорение точки А есть нуль, и принять во внимание, что для этой точки у — О, чтобы заключить, что в начальный момент имеем T = mg, т. е. имеем двойное натяжение по сравнению с тем которому подвергается нить в статических условиях.

18. Предположим, что скольжение стержня, о котором шла речь в упражнении 9, происходит с трением как в А, так и в В, и для определенности допустим, что коэффициент трения / имеет одно и то же значение на обеих направляющих.

Прилагая теорему живых сил и принимая во внимание все внешние силы, действующие на стержень, составить уравнение движения.

g,(mrlx — Hi1T1P) *

Alf + A1P

ар = щ + ыХ OP.
УПРАЖНЕНИЯ

67

Замечая, что реакции ничего не прибавляют к элементарной работе, находим

3 g f

Ч = -у sin ч qr —[(Xsin <f + Fcos ?),

где XnY имеют выражение, указанное в упражнении 9, и знак минус берется для нисходящей фазы.

19. Однородный шар катится без скольжения по наклонной шероховатой плоскости (с углом наклона і к горизонту) по прямой наибольшего наклона. Определить реакцию плоскости в точке соприкосновения.

Эта реакция имеет составляющими 2mgsiai/7 по линии наибольшего наклона и mg cos і по нормали (вверх), так что эта последняя имеет ту же величину, что и в статических условиях.

Здесь мы также встречаемся с кажущимся парадоксом (ср. т. I, гл. XIII, п. 33), что трение скольжения направлено в сторону движения; и здесь еще сохраняет силу объяснение, что такая сила не является в действительности ни движущей силой, ни сопротивлением, потому что вследствие отсутствия скольжения ее точка приложения будет всегда иметь нулевую скорость.

20. Исследовать качение по горизонтальной плоскости тяжелого круглого цилиндра, центр тяжести которого G находится на расстоянии г от оси, предполагая, что прямая, параллельная образующей и проходящая через G, является главной осью инерции для тела (ср. п. 12).

Рассматривая нормальное сечение, проходящее через G, мы сведем задачу к двум измерениям (движение диска).

Обозначая через а радиус диска, через С—центр, через P—точку касания, через 6 —угол PCG, будем иметь

PGP = a2 + Ti — 2ar cos 0,

так что если В есть центральный радиус инерции и т масса тела, то момент инерции А относительно образующей касания будет

А = т (о2 -f- a2 -f- л2 — Iar cos 0).

Принимая во внимание, что существует интеграл живых сил

А "б2 — mgr cos 0 == const,

показать, что малые колебания около положения устойчивого равновесия 0 = 0 будут одинаковы с качаниями простого маятника длиною

52+ (a —O2

г

21. Возьмем снова задачу предыдущего упражнения, сведем ее к случаю плоского движения и примем во внимание также и скольжение.

Можно возвратиться к уравнению живых сил в виде

d (Г— U) = dL,

где T—U имеет выражение

Л'в3 — mgr cos 0,

указанное в предыдущем упражнении;

dL= — fmg ¦ PG • I d% |,

5*
68

ГЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ

где / есть коэффициент трения, и

PGi = л2 -{- г-* — Чаг cos fi.

Дополнить исследование (способом, аналогичным тому, который был развит в пп. 50—51 гл. I), выяснив, прекратится или будет продолжаться движение после того, как угловая скорость сделается равной нулю.

22. Прямолинейный стержень AB опирается концом А на горизонтальную шероховатую плоскость. В начальный момент он составляет угол а0 с вертикалью, направленной вверх, и предоставлен самому себе. Требуется определить наименьшую величину, которую может иметь а0 в функции от коэффициента трения / в точке опоры (и от структурных постоянных), для того чтобы конец А стержня ие скользил по плоскости во время падения.

Решение сводится к тому, чтобы определить реакцию плоскости в точке А, предполагаемой неподвижной, и указать наибольшую величину отношения между двумя составляющими XaY (горизонтальной в направлении проекции AB и вертикальной) этой реакции. На основании общего критерия кинетостатики (п. 4), уже применявшегося в упражнении 9, реакция плоскости в точке А дается непосредственно первым из уравнений (5). В настоящем случае, если обозначим через г расстояние центра тяжести G стержня от А, производная от результирующей Q количеств движения будет иметь составляющими, как в упомянутом упражнении, га2 по GA и га в перпендикулярном направлении (ориентированном в сторону возрастающих а). Так как горизонтальная и вертикальная составляющие вектора R сводятся здесь к О и — mg, то имеем

X = mr ( — a2 Sin а -|- a COS а),

Y= mr ^ — а2 cos а — а sin а + .

С другой стороны, уравнение движения и интеграл живых сил, отправляясь от допущенных начальных условий (а = а0, скорость равна нулю), можно написать соответственно в виде

(S2 -(- г*) a = gr sin a, (S2 -]- г2) а2 = 2gr (COS а0 — COS а),

где о обозначает центральный радиус инерции стержня.

Принимая во внимание эти равенства, будем иметь

X____ sin а (3 cos а — 2 cos а0)

__ >

+ COS а (3 COS а — 2 COS а0)

а отсюда, в частности, мы видим, что / не должно быть меньше начального значения только что написанного отношения, т. е.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed