Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
sin а0 COS Ct0 ~ -|- COS** а0
Для того чтобы также и при а = л/2 было {X/Y] требуется, далее, чтобы
,18’
COS а0<——/.
Принимая это во внимание (а также и то, что 52/г2 <, 1), проверить, что предыдущее выражение отношения XfY, рассматриваемое как функция от а, имеет всегда отрицательную производную в замкнутом интервале а0 < “ < те/2.
УПРАЖНЕНИЯ
69
Следовательно, отношение XjY, исчезающее в этом интервале (при 3 cos а = = 2 COSa0), принимает наибольшую абсолютную величину на концах а0 и к/2 интервала.
Дополнить исследование доказательством того, что указанное выше ограничение
1 62
COSa0 <2-рз/ является не только необходимым, но и достаточным
23. Исследовать возникающее движение по горизонтальной шероховатой плоскости тяжелого стержня, находящегося под действием внешних сил. Ср. G. Bisconcini, Boll, della Unione mat. ital., Anno IV, 1925; пп. 3—4; стр. 109—ИЗ.
24. Изучить динамически колебания вращающегося горизонтального вала.
Случай установившегося вращения был рассмотрен как задача об относительном равновесии в § 3 гл. XVI т. I. (Динамическую трактовку CM. С. M е 11 i, Nuovo Cimento, т. XXV, 1923, стр. 77—85.)
Глава VIII
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 1. Общие соображения о движении твердого тела около неподвижной точки или около центра тяжести
1. Уравнения Эйлера. В динамике неизменяемых систем типичной задачей с тремя степенями свободы наряду с плоским движением является задача о движении твердого тела, закрепленного (без трения) в одной из своих точек О. Эта задача является одной из важнейших задач всей механики не только вследствие большого разнообразия конкретных вопросов, которые к ней приводятся, но также и благодаря тем теоретическим выводам, которые из нее могут быть получены.
Об общей постановке этой задачи мы уже имели случай говорить в п. 2 предыдущей главы. Обратимся снова к указанным там рассуждениям и попутно разъясним и дополним их.
При изучении движения твердого тела, конечно, удобно исходить из основных уравнений. Уже само предположение о неподвижности точки О прямо подсказывает, что центр приведения сил или центр
моментов нужно взять в этой точке, благодаря чему основные урав-
нения, отнесенные к галилеевым осям QfrqC, принимают свой наиболее простой вид
§=*• <¦>
§=М- (2)
Здесь внешними силами, для которых JR и M являются результирующей силой и результирующим моментом относительно неподвижной точки О, очевидно, будут силы, прямо приложенные (внешние), а реакция, развивающаяся в О.
Далее, как и в случае твердого тела с закрепленной осью (гл. VII, п. 5), предположим, что, зная активные силы и ничего не зная заранее о реакции в точке О, мы хотим определить движение твердого тела около неподвижной точки.
Неизвестная реакция, как одна из составляющих результирующей силы R, входит только в уравнение (1), так как, будучи приложена в точке О, она не оказывает влияния на величину момента M и потому уравнение (2) от нее не зависит; твердое тело имеет в этом случае три степени свободы, и потому для определения движения тела на основе прямых данных задачи (и начальных условий) доста-
§ I. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
71
точно одного векторного уравнения (2) (как мы уже отмечали в п. 2 предыдущей главы).
Это основное уравнение можно сделать более наглядным и более удобным для изучения, если отнести его к осям х, у, z, неизменно связанным с телом и имеющим начало в точке О, после чего оно, как известно, примет вид
АГ+о)Х^ = Л1, (3)
где о) обозначает угловую скорость подвижных осей, т. е. угловую скорость самого тела относительно осей QStjC, а К есть производная от К по времени t относительно осей Oxyz.
В качестве подвижных осей удобно взять три главные оси инерции твердого тела относительно точки О. При этой системе отсчета проекции результирующего момента количеств движения К на оси Oxyz имеют простейшие выражения (гл. IV, пп. 16, 19)
Kss = Ap, Ky = Bq, Ks = Cr, (4)
где А, В, С обозначают три главных момента инерции твердого тела относительно точки О (которые, конечно, должны быть даны) и р, q, г — неизвестные составляющие по осям Oxyz угловой скорости <в этой системы отсчета (т. е. самого твердого тела) относительно инерциальной системы отсчета QSyjC.
Если обозначим теперь через Mx, My, Mz проекции на подвижные оси результирующего момента M внешних активных сил относительно точки О, то уравнение (2) после проектирования на три оси (главные оси инерции) х, у, z приводит к трем скалярным уравнениям
Ap-{8-C)qr = Mx, I
Bq-(C-A) rp = My, У (5)
Cr — (А — В) pq = Mz. I
Эти уравнения, частный случай которых мы уже встречали в п. 13 предыдущей главы, представляют собой классические уравнения Эйлера — уравнения движения твердого тела около одной из его точек.
Важно отметить, что, вообще говоря, нельзя утверждать, что точная и определенная постановка задачи исчерпывается только одними уравнениями {5). Проекции Mx, My, Mz момента M внешних активных сил в самом общем случае выражаются в функции времени, скоростей отдельных точек твердого тела и их положения в пространстве, или, что то же самое, положения твердого тела по отношению к осям ОЩ,. Далее, в то время как скорости различных точек тела выражаются при помощи известной кинематической формулы
