Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
4*
52 ГА. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
устойчивости установившегося полета, т. е. устойчивости полета по отношению к тем движениям в вертикальной плоскости, близким к установившемуся, которые мы указали в п. 23.
По существу все будет зависеть от проекций X и Y, силы тяги винта и момента Mr, которые соответствуют этим возмущенным движениям.
Что касается силы тяги винта, то наиболее приемлемые экспериментальные результаты позволяют считать, что поскольку режим работы мотора не изменяется, то X и Y сохраняют величины и 0, которые они имеют при нормальном полете.
Далее, относительно момента всех внешних сил необходимо прежде всего отметить, что так как речь идет о моменте относительно центра тяжести, то момент силы тяжести равен нулю. То же самое можно сказать и о силе тяги винта, поскольку, как только что было сказано, можно принять, что в возмущенном движении она остается приблизительно осевой. Поэтому остается принять во внимание только момент относительно центра тяжести сопротивления воздуха или, еще точнее, местных действий потока воздуха на отдельные элементы поверхности самолета. Очевидно, по крайней мере в первом приближении, что эти действия зависят только от скоростей частиц воздуха относительно отдельных элементов поверхности, а эти скорости в свою очередь зависят от величины v поступательной скорости и от угла атаки а. Так как мы намерены рассмотреть здесь малые колебания около нормального полета, когда будем иметь v = V0, а = і, то нам придется приписать момету M0 который должен исчезать при v = v0, а = і, выражение вида
— vl{c(v—vj + c^a — Ob (56)
где с и C1 обозначают две постоянные; теперь мы можем убедиться, что для устойчивости необходимо, чтобы эти две постоянные были положительны. Это следует из обычного статического критерия (т. I, гл. XIII, п. 23), согласно которому силы должны стремиться привести систему к нормальному режиму. В случае нашей задачи пара с моментом M^ должна быть такой, чтобы, действуя отдельно, заставить самолет повернуться и привести v к V0 и а к г; это как раз и означает, что каждый из двух членов суммы (56) должен иметь знак, обратный соответствующему возмущению v — V0 и а — L Наконец, из опыта известно, что из двух членов более важным является тот, который зависит от возмущения угла атаки; так что в первом приближении можно прямо положить C = O.
Следует заметить, что вращению самолета в его плоскости симметрии противодействуют пассивные сопротивления, которые, поскольку речь идет о малых колебаниях (медленных), можно, как известно, схематически представить в виде сопротивления вязкого трения, т. в. сопротивления, пропорционального 0, и со знаком, всегда обрат-
S 8. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ САМОЛЕТА
53
ным знаку угловой скорости. В результате, полагая в выражении (56) с = 0 и замечая, что на основании соотношения (50) имеем а —¦ t — —<р, мы приходим к выражению
Afc== ^cp _с3-»04, (57)
где с2, как и C1, есть положительная постоянная. Две пары, соответствующие двум слагаемым момента Afc, принято называть соответственно восстанавливающей и демпфирующей парой (гл. I, п. 58).
Разъяснив таким образом поведение сил при продольном движении, близком к любому нормальному движению, мы в состоянии теперь вывести соответствующие уравнения в вариациях. Для этой цели мы должны снова взять общие дифференциальные уравнения (52), (53), приписать в них величинам Rx, Ry, Atfc только что найденные значения и положить v — V0 -j- г, рассматривая в, <р, 0 как величины первого порядка и, следовательно, пренебрегая членами второго порядка относительно них.
Это, между прочим, приводит к тому, что вместо COS® и Sincp мы должны подставить соответственно 1 и ср, благодаря чему равенства (51) примут вид
Vx = V =V0 +г, Vy = V0V,
а для левых частей уравнений (52) получим выражения
»о (? + &)• (58)
Что касается правых частей этих уравнений, то прежде всего мы займемся теми слагаемыми, которые зависят от сопротивления воздуха Ф.
На основании формул (50), (54) можно положить, приписывая значок нуль значениям, принимаемым величинами Ф„, Ф, и их производными при нормальном движении,
*.-ч+ФУ-(?7* I
ф. = ф! + (ж)°—(Ї0’« I
так как есть угол поворота, переводящего систему осей Gxy в систему ©V, то отсюда получим
Ф® = Ф0 —?Ф,=Ф“— Ot*+ а#, )
ф,=»<рф0 + ф,=ф°, +J
где для краткости положено
«1 = — (?1)° = 2 + f) vO' а2 = — Ф" — (?° = MoS,
bx = (?)° = 2Хю0, г>2 = -Ф“ + (?)° = {X (I + Р) + /} vh
заметим, что коэффициенты а1} а2, Ьи Ь,, все положительны.
54
ГЛ, VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ
Вспомним, кроме того, что при движении, близком к нормальному полету, можно принять
*=(w»+/)«2, K==O,
и-заметим еще, что соответствующие проекции силы тяжести---^rSlnO
и —^cosO равны приближенно —gd и —g.
Принимая во внимание это обстоятельство, а также формулы (57), (59) и выражения (58) левых частей равенств (52), (53), мы легко увидим, что соответствующие уравнения в вариациях, представляющие отклонения от любого нормального полета, принимают вид
