Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
502
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
наложенные на состояние движения какой-нибудь системы, всегда могут быть выражены посредством уравнений вида
Bit(V) = bk (As— 1, 2, ...,/-), (49)
где Bk (©) символически представляют линейные однородные функции от проекций скоростей Vi точек системы, коэффициенты которых, так же как и скалярные величины Ьк в правых частях, суть известные функции координат, а возможно, и времени; поэтому за очень короткий интересующий нас промежуток времени X они должны рассматриваться как постоянные.
На основании определения виртуальных перемещений связи, которым должны удовлетворять SPi, выражаются соответствующими линейными и однородными уравнениями
Bk(IP)=* 0 (А= 1,2 ,...,г); (50)
для некоторых выводов, которые мы имеем в виду, важно отметить, что, в то время как значения VT скоростей до удара могут и не удовлетворять уравнениям (49), так как эти уравнения относятся к промежутку времени т, в течение которого связи могут не быть теми же самыми, что и до удара, скорости vt, в известном смысле отражающие действие всего того, что происходило в элемент времени т, необходимо должны удовлетворять уравнениям (49).
Если затем рассмотрим отвлеченно какое-нибудь движение Vh совместимое с уравнениями (49) (совпадающее или несовпадающее с движением после удара), и припишем скоростям изменения Svi, которые соответствовали бы условиям (49), то Svi вследствие линейности уравнений (49) будут удовлетворять в свою очередь соответствующим однородным уравнениям
Bk(Sv) = O (А= 1,2, ...,/¦), (500
которые будут тождественны с уравнениями (50), если не считать того, что в уравнениях (50') вместо неизвестных SPi стоят величины Svi.
23. Теорема Робена1)- Пусть скорости Vi определяют какое-нибудь состояние движения, совместимое со связями (49); введем квадратичную функцию, вообще говоря, неоднородную относительно Vi,
0 = '2' Si \!i - mi ~v7))2> (51)
г = I
1) Густав Робен (Gustave Robin) родился в Париже в 1855 г., умер там же в 1897 г. Оригинальный и проницательный мыслитель, внес важный вклад по результатам и по методу не только в теорию импульсов, но также и в термодинамику, в электростатику и в критическое направление теории
функций. Его сочинения собраны в трех томах (Париж, 1899—1903).
§ 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ИМПУЛЬСИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
503
предполагая, что Vi представляют собой какое угодно решение уравнений (49). Полный дифференциал этой функции, так как в ней импульсы I1 и скорости до удара Vi рассматриваются как заданные, определится равенством
IG = — 2 {h — mi (vi — Vi)} • 8®, J (52)
*=і
он обратится в нуль, если вместо Vi будут подставлены скорости после удара ©+, удовлетворяющие не только уравнениям (43), но
также и общему уравнению (48).
Это означает, что соответствующее значение G+ величины G является стационарным. Ho легко видеть, что мы имеем здесь дело
с минимумом, если раскрыть смысл разности G--G+. Для этой цели
будет исходить из тождества
¦J— (/. — m.(v. — гт))2 — {/. — т (vf — vr)\2 =
2т{ I » *4 * * I 2\ * *4 » * 'і
= I I • « — Vi) + Y т. [(Vi — VJf — (V+ — V-)2] =
= (Ii-UiAv.) ¦ (vf-Vi) +YmI [Mv.+2vj- VjT-Vi] . «-©,)=
= (Л — Hiibvi) ¦ Svi + Ymi '
в первой части которого принято обозначение Ivi для разности vt —Vr Если просуммируем по индексу і от 1 до N, то левая часть на основании определения (51) функции G даст G — G+, а первый член правой части будет равен нулю в силу заключительного замечания предыдущего пункта. Вследствие этого останется
N
G = G+ +-I ? W- (53)
г—1
Отсюда видно (теорема Робена), что: неизвестное состояние движения после удара будет таким, для которого функция G имеет наименьшее значение по сравнению со всеми состояниями движения, совместимыми со связями (49).
24. Сопоставление теоремы Робена с принципом наименьшего принуждения. Прежде чем идти дальше, остановимся немного на функции G предыдущего параграфа и упростим ее выражение путем введения в нее воображаемых скоростей v*., которые приняли бы точки Pi системы под действием заданных импульсов, если бы отсутствовали связи. Для таких скоростей имеем
т. (Vii-VJ) = Ii (/=1,2,..., Л/)
504
ГЛ. ХН. ТЕОРИЯ УДАРА
и, следовательно, функция G принимает вид
* = 1
Рассмотрим теперь промежуток времени е, также очень короткий, следующий за моментом t0, когда система подверглась действию' импульсов, и для любой точки Pi обозначим через Qi то положение, которое она действительно займет в момент -j- s при каком-нибудь движении, совместимой со связями, существующими в то время, когда действуют удары, а через Ql — положение, которое она приняла бы в тот же самый момент, если бы она двигалась свободно под действием тех'^ке самых импульсов Ii.
Как и в п; 2 предыдущей главы, принуждение, происходящее от связей, будет определяться равенством
Г =|] MiQiQ*2'.
І = I
и так как имеем
Qi = Pl-H**+..., Q* = P. + е<+... (/=1,2, ...,ЛО,
где опущенные члены будут относительно а порядка выше первого, то, пренебрегая членами третьего и более высокого порядка относительно в, получим
