Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
пространственные проекции вектора о> суть О, 0, О, имеют выражения
(38)
V+ = — ем ,
(39)
(40)
если положить в этих уравнениях
о+=о--)- ЬХ— cY. (l-j-e)v-= — cX-\-aY.
(41)
(42)
ab > с1.
(43)
§ 4. ПОНЯТИЕ ОБ УДАРЕ С ТРЕНИЕМ
495
должны рассмотреть при помощи законов Кулона, относящихся к трению скольжения (статического и динамического), поведение реакции Ф за очень короткий промежуток времени т, в течение которого действительно происходит явление удара.
Для облегчения этого анализа и последующих рассуждений обратимся к геометрическому представлению. Следуя Раусу, введем точку R с координатами X, Y, т. е. свободный конец вектора /, приложенного в точке P, и заметим прежде всего, что он должен находиться на прямой г, определяемой уравнением (42). По знакам коэффициентов мы видим, что прямая г пересекает ось х в точке с отрицательной абсциссой (или бесконечно удаленной) и ось у в точке с положительной ординатой, так что она имеет Некоторую общую точку А (см. фиг. на стр. 497—499) с той стороной q1 двойного угла трения qlq<i=2rs, относящегося к преграде в Р, которая лежит во втором квадранте осей. Обозначая через ф угол (положительный и острый), который эта прямая образует с осью у, будем иметь
= (44)
прямая г пересечет также полупрямую g2 в некоторой точке В или
будет лежать, начиная от точки А, вся внутри угла g 1( g2, в зависимости от того, будет ли ф > ф или ф ^ Ф.
Напишем теперь снова уравнение (41), полагая
о+ _ а~
P+ = -F= - ' = > P = г— —»
Y ь2 + с1 Vb2 + с*
COS Xtl =-------------------- ----. Sin Xtl
-./irt і О •
Yb*+ с* Yb* + ct
В силу этого уравнение (41) принимает вид
?'-s.
р+= — (ApCosxw-I-Fsinxw—р~) (41/)
и позволяет истолковать неизвестную /7+ как расстояние точки R от прямой S, нормальное уравнение которой есть
X COsx п-\-у Sin X п—р~ = 0. (45)
Эту прямую можно назвать прямой нулевого скольжения, так как скорость скольжения а+ после удара обращается в нуль только тогда, когда точка R лежит на ней.
Направленная нормаль п к s, проходящая через начало, как это следует из выражений ее направляющих косинусов, принадлежит ко второму квадранту осей. Естественно, что прямая s пересекает эту нормаль с той или другой стороны от начала, смотря по знаку величины р- или, что то же, по знаку скорости скольжения о- до удара.
496
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
В обоих случаях прямая s согласно обычным соглашениям аналитической геометрии будет направлена вверх (т. е. в сторону возрастающих у), и угол х (положительный и острый), который она образует с осью у, определяется соотношением tg у = с/д, так что, принимая во внимание равенства (44) и (43), мы видим, что ф > у.
Обращаясь теперь к исследованию явления удара в последовательные моменты очень краткого промежутка времени т, в течение которого он происходит, обозначим через t какой-нибудь один из этих моментов и рассмотрим соответствующее значение импульса
t
*0
с проекциями Xt, Yt и скорость скольжения Ot для того же момента. В этот момент t изменения, испытываемые характеристическими величинами и, V, О, будут определяться теми же уравнениями (37), в которых вместо Xi Y надо подставить Xt, Yt. Вместо уравнения (41) или эквивалентного ему уравнения (41') будет иметь место уравнение
pt= — (ArtCosxn+ Yt sin хп—р~), (46)
где положено
п — а*
Y ь* + *'
Обозначим через Rt точку с координатами Xt, Yt, которая представляет в любой момент соответствующее значение It импульса. Задача заключается в том, чтобы определить, каков будет путь, описываемый точкой Rt, за промежуток времени от f0 до Z0-f-г, начиная от положения Р, из которого она выходит в момент t0, и каково будет конечное положение R, которого достигает Rt в момент /0-}-г на прямой г.
Для этой цели, как уже указывалось, нам надо только принять во внимание эмпирические законы трения скольжения. Прежде всего, заметим, что, по определению, имеем d Rt = d It = Ф dt; вспоминая, что импульс Ф всегда будет обращен наружу от преграды, мы видим, что на чертеже путь точки Rt от P до R должен быть направлен вверх. Кроме того, в силу законов динамического трения, направление движения точки Rt, совпадающее с направлением реактивного импульса Ф, который должен быть противоположным скольжению, будет совпадать с направлением g. или go, смотря по тому, будет ли at > О или ог<0; если же в некоторый момент і Qt исчезает, то Rt будет находиться на прямой s нулевого скольжения и элементарное перемещение точки Rt будет подчинено только
условию лежать внутри угла gu g2, оно будет оставаться внутри
§4. ПОНЯТИЕ ОБ УДАРЕ С ТРЕНИЕМ
497
этого угла, пока скорость, скольжения остается равной нулю, а это
требует, чтобы угол у = уs был меньше угла трения Ф.
Предыдущие рассуждения легко приводят к определению конечного положения R точки Rt на прямой г, если будем рассматривать отдельно два общих случая: I. a- О, II. о- < о и различные частные случаи, которые в них входят.
Надо тотчас же отметить, что так как р- имеет тот же самый знак, что и Cs- (и исчезает вместе с о-), прямая s нулевого скольжения, определяемая равенством (45), в случае I имеет общую точку H с полупрямой gt {Н совпадает с P при о- = 0), а в случае II--C продолжением ЭТОЙ ПОЛу- ід
