Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если за положительное направление оси х принимается то, относительно которого вращение маятника при отдаче оказывается правым и вводится обычный угол 0, который плоскость хО образует с вертикалью, то, как известно, р = Ь, так что для импульсивного движения маятника на основании уравнения (24') и на основании того, что в момент выстрела маятник находится в покое (0 = 0), будет иметь место уравнение
Ati+ = Maj, (27
где Mx обозначает момент импульса, полученного маятником, относительно оси подвеса.
Следующая фаза непрерывного колебательного движения, если отвлечемся от сопротивления воздуха, будет определяться уравнением (живых сил):
AO2 — 2/WjgT cos 6 = 2 Е. (28)
Осевой момент Ma, легко выражается через данные задачи и неизвестную начальную скорость v снаряда путем применения принципа равенства действия и противодействия. Действительно, снаряд получает импульс, направленный по оси орудия, в левую сторону относительно направленной оси х; этот импульс измеряется по абсолютной величине начальным количеством движения mv. Поэтому реактивный импульс, испытываемый маятником (импульс отдачи), имеет ту же величину и ту же линию действия на расстоянии а от х, но направлен в противоположную сторону. Отсюда мы заключаем, что
Mx = mav и из уравнения (27) получаем
А л -ь
V = ----- 0 ,
та
Таким образом, остается вычислить угловую скорость 0+, сообщаемую маятнику снарядом, которую мы не имеем возможности
§ 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УДАРА БЕЗ ТРЕНИЯ
483
измерить прямо; можно, однако, наоборот, выразить ее посредством другой величины, получаемой из опыта, а именно, посредством наибольшего отклонения 0 от вертикали, которое маятник получает при своих колебаниях, следующих за выстрелом. Действительно, отметив это значение 6, достаточно воспользоваться уравнением (28) непрерывного колебательного движения, чтобы вывести из него для начального момента движения после выстрела, т. е. при 9 = Ь+ и 6 = 0,
А (Ь +)2 — 2m^gr = 2Е,
а для момента наибольшего отклонения от вертикали, т. е. (J = O и Ь = й,
— 2wijgr cos Ь = 2Е,
так что, вычитая последнее равенство из предыдущего почленно и разрешая относительно 6 + , получим
2/H-igr (I —cos в)
и, следовательно,
2sin^-
V = —1 f 2m^r (I —cos 6) ^ S1 2 ,/-j та I/ А та '
Mjgr.
§ 3. Общая теория удара без трения
17. Общий случай. Рассмотрим два тела, S1, S2, которые, находясь в каком угодно относительном движении, сталкиваются в заданный момент t0. Каждое из них получает со стороны другого некоторую систему импульсов; задача заключается в том, чтобы изучить последующие резкие изменения скоростей или, другими словами, определить состояния движения тел после удара, если известны их состояния движения до удара.
Явление удара оказывается несомненно очень сложным, и относительно его последовательных фаз, за очень короткий промежуток времени х, в течение которого оно происходит, можно повторить рассуждения, уже примененные в п. 4 в элементарном случае центрального и прямого удара. Мы будем придерживаться здесь схемы, предложенной Пуассоном, и попробуем раскрыть сложный ход явлений, предположив прежде всего, что оба тела, S1, S2, каждое из которых до удара находится в каком угодно состоянии движения, в момент сталкиваются только в одной точке Р, правильной для поверхностей обоих тел; эти поверхности будут поэтому иметь в этой точке в момент удара одну и ту же касательную плоскость.
31*
484
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
Допустив абсолютную гладкость двух поверхностей, мы будем иметь, как необходимое следствие, что для каждого из тел система импульсов, испытываемых вследствие удара, сводится к единственному импульсу, приложенному в точке P и направленному по нормали к поверхности, проведенной внутрь тела. В соответствии с принципом равенства действия и противодействия надо принять, что величина I импульса, заранее неизвестная, будет одной и той же для обоих тел.
Пусть теперь (фиг. 31) для каждого из двух тел SjQ'= I, 2)m;j есть масса, Vj— скорость центра тяжести Gj, o)j— угловая скорость, Kj — результирующий момент количеств движения относительно- центра тяжести. Если, далее, обозначим через Kj единичный вектор нормали, внутренней для поверхности, в точке Pjt в которой происходит удар, то импульс неизвестной величины /, испытываемый телом вследствие удара, можно будет представить в виде Inf, с другой стороны, момент Kj связан с скоростью ftij соответствующей гомографией инерции о будем иметь
3’
угловой так что
aO = 3J (®j) (/=1,2);
проектируя это векторное равенство на главные оси инерции относительно центра тяжести и обозначая через Aj, Bj, Cj соответствующие моменты (главные) инерции, через pj, qj, rj аналогичные проекции вектора a»j, будем иметь
Kjix AjPjt Kjiy Bjqi, Kju = Cjfj
(/=1,2).
При этих обозначениях основные уравнения импульсивного движения (7), (16), составленные для каждого из двух тел, дадут четыре векторных уравнения:
TnjAvj-
(/=1,2),
(29)
Inp
AKj=IG1PjXnj ¦ (30)
которые после разрешения их относительно ДVjt Ao>j принимают вид
