Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В этом заключается все, что можно извлечь для нашей задачи из общей теории пп. 17—18. Ho интересно рассмотреть, как
490
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
действительно будет происходить движение колеса после удара, начиная от только что описанного состояния движения.
Заметим прежде всего, что в силу неизменности при ударе угловой скорости ш и, следовательно, в частности, ее направления, достаточно, чтобы точка В оказалась с той же стороны от вертикального диаметра OA, что и точка Р, для того чтобы при элементарном вращении вокруг В, с которого начинается движение после удара, колесо отскакивало как от плоскости, так и от препятствия. В таком случае колесо в своем движении после удара будет следовать законам движе^ ния свободного тяжелого тела, так что его центр тяжести будет
описывать некоторую параболу sJp (фиг. 33) с вертикальной осью и с вогнутостью, направленной вниз, причем касательная к параболе в начальном положении О будет перпендикулярна к OB.
Тогда, ограничиваясь рассмотрением случая а. < 90° (препятствие ниже центра колеса), и вспоминая,
что AOB= 2а, мы увидим прежде всего, что если угол а заключен между 45° и 90° (включая концы), то скорость после удара точки О направлена назад; это значит, что фиг- колесо не преодолело препятствия и
отскочило назад.
Наоборот, при а < 45° скорость после удара точки О обращена вперед и вверх, и колесо может преодолеть препятствие, не ударяясь более о него. Для того чтобы это произошло, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы центр О в своем параболическом движении находился на некотором расстоянии от препятствия, не меньшем радиуса колеса г, или, другими словами, чтобы дуга OL параболы находящаяся над горизонталью Ox', не пересекала над этой горизонталью х' аналогичную дугу ОН окружности С с центром в P и радиусом г. Теперь легко видеть, что это последнее условие выражается соотношением
OL > Otf (36)
между двумя хордами, отсекаемыми соответственно параболой ip и окружностью С на горизонтали Ox'.
Для доказательства этого заметим сначала, что в то время
как касательная t в точке О к дуге круга С, как перпендикуляр к PO, составляет с Ox' угол а, аналогичный угол, образованный с той же самой прямой Ox' касательной t' в точке О к параболе как перпендикуляр к ВО, будет равен 2а; поэтому в начале движения после удара парабола sJp будет, конечно, расположена над С.
8.3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УДАРА БЕЗ ТРЕНИЯ
491
Мы видим, таким образом, что, если бы, вопреки *условию (36), было OL<OH, то дуга параболы пересекла бы дугу круга над прямой Ox' и колесо в своем параболическом движении вперед ударилось бы еще раз о препятствие.
Поэтому остается только подтвердить, что соотношение (36) является также и достаточным условием для того, чтобы этого не произошло:)-
Для этой дели, предположив выполненным равенство (36), вспомним, что если временно за декартовы оси примем Ox' и вертикаль в точке О, направленную вверх, и введем составляющие v - cos 2а, v- sin 2а скорости точки О после удара, то координаты вершины V параболы определятся (т. I, гл. II, п. 31) выражениями
(»“)2 sin 2а cos 2а (г/-)2 sin2 2» q ’ 2g ’
так что будем иметь
4V0L = \ ?2. =
и, следовательно, так как а <45°,
tg«<tg VOL < tg 2а.
Полупрямая OV будет поэтому внутренней для угла tt' двух касательных; прямая НК, параллельная к LV, пересечет отрезок OV в какой-нибудь точке К (самое большее совпадающей с V).
Так как дуга круга остается ниже ломаной с двумя сторонами ОKH, а эта ломаная в свою очередь будет ниже аналогичной ломаной OVH, полностью лежащей ниже дуги параболы, то заключаем, что, действительно, две дуги не пересекаются над горизонталью Ox'.
Подставляя в уравнение (36) вместо OL (дальность боосания) и ОН (хорда круга с центральным углом 2а) их выражения через данные задачи, мы получим соотношение
sin 4а 2г sin я. (36')
1) Заключение о дальнейшем движении можно получить прямым геометрическим путем, посредством следующего способа, указанного проф. Бис-кончини.
Наряду с дугой окружности ОН рассматривают окружность С' (не указанную на чертеже), касательную в точке О к. параболе и имеющую центр на вертикали точки U (оси параболы, тоже не указанной на чертеже). Будучи вполне симметричной по отношению к такой прямой, окружность С' коснется параболы также и в L, и, так как она не может иметь с параболой других общих точек (потому что две точки касания уже исчерпывают четыре точки пересечения), то будет вся целиком внутренней по отношению к той же
параболе. С другой стороны, дуга круга ОН = С будет в свою очередь внутренней по отношению к С', так что она не сможет пересечь дугу пара болы OVT. = ^.
492
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
Если препятствие сводится к маленькому выступу в полу, т. е. если а. очень мало, так что вместо синусов можно подставить без ощутительной погрешности соответствующие углы, то соотношение (36') получит вид
{v-?>jrg.
Отсюда заключаем: для того чтобы колесо не ударилось вторично о препятствие, необходимо и достаточно, чтобы скорость до удара точки обода, ударяющегося о препятствие, была не меньше скорости тяжелого тела, падающего на пол с высоты, равной четверти радиуса колеса.
