Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
К = °> М, =К = — ЖЖх—Жг- (26')
15. Случай, когда реактивные -импульсы связей представляют
собой систему, эквивалентную нулю. Аналогично тому, что мы делали в случае твердого тела с неподвижной точкой (п. 12), можно воспользоваться уравнениями (25'), (26') для того, чтобы найти, при каких условиях единственный импульс /, не равный нулю, приложенный к твердому телу, имеющему неподвижную ось, в одной из его точек Р, возбуждает реактивные импульсы, которые в своей совокупности уравновешиваются (R' = M' = 0).
Так как мы имеем R=/, то первое и третье уравнения системы (25') показывают, что должно быть Ix = Iz = 0, или что:
а) Импульс I должен действовать нормально к плоскости, проходящей через центр тяжести и через ось.
Теперь мы можем предположить, что импульс приложен в некоторой точке P плоскости, проходящей через центр тяжести и через ось, и центр моментов О (начало координат), положение которого на оси вращения до сих пор не было определено, можно будет взять в основании перпендикуляра, опущенного на ось из точки Р. При этих условиях момент M единственного прямо приложенного импульса / будет чисто осевым и, в частности, равным нулю, если импульс приложен прямо к оси, т. е. в точке О. Однако эта последняя возможность должна быть исключена, так как в этом случае, при моменте Ma., равном нулю, на основании уравнения (24') не было бы никакого резкого изменения состояния движения; кроме того, в силу уравнения (25') вместе с R = / должен был бы быть отличным от нуля также и импульс R'. Итак, имея чисто осевой момент M и принимая во внимание, что должно быть M' = 0, из второго и третьего из уравнений (26') получим, что B' = C' = 0, т. е.:
б) Ось вращения должна бить одной из главных осей инерции для твердого тела по отношению к основанию О перпендикуляра, опущенного на нее из точки приложения импульса Р.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТВЕРДЫМ ТЕЛАМ. БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 481
Остается подтвердить условие = О на основании второго из уравнений (25'). Если обозначим через z третью координату точки P (расстояние от закрепленной оси), то будем иметь Ma, = — zly и, следовательно,
откуда следует, что:
в) Точка P должна лежать на оси качаний твердого тела, соответствующей неподвижной оси (гл. VII, п. 6).
Таким образом, для того чтобы закрепленная ось не испытывала дополнительных давлений, необходимы и достаточны условия „а“, „б\ „в“.
Точка Р, определенная таким образом, называется центром удара относительно неподвижной оси, а перпендикуляр через точку P к плоскости, проходящей через центр тяжести и через ось, т. е. линия действия импульса, — осью удара.
Предыдущие выводы можно приложить и к случаю молотка, если рассматривать вопрос более схематично, чем в п. 13, предполагая, что молоток вращается вокруг некоторой оси, а именно (см. чертеж на стр. 478) вокруг оси х, перпендикулярной в точке О к плоскости симметрии молотка, в которой предполагается расположенной линия действия импульса. В этом предположении условие „а“ непосредственно удовлетворяется, то же справедливо и по отношению к урлЬ-вию „6“ на основании того, что если материальная система обладает плоскостью симметрии, всякий перпендикуляр к этой плоскости будет главной осью инерции относительно своего основания О1).
Наконец, условие „в* принимает ту же самую форму OG • ОН = Ь2, что и в п. 13, и остается выразить то обстоятельство, что точка P должна принадлежать оси качаний, соответствующей оси Ох, вокруг которой вращается молоток.
Из чертежа видно, что след О оси вращения есть одна из точек оси рукоятки молотка; в силу этого молоток следует держать так, чтобы имелась опора вблизи запястья или локтя, или даже плеча, соответственно размерам и весу молотка: достаточно в этих случаях представить себе точку О смещенной подходящим образом.
16. Баллистический маятник. Теория импульсивного движения твердого тела с закрепленной осью находит интересное применение при измерении скоростей снарядов. Для этой цели употребляется так называемый баллистический маятник, состоящий в основном из орудия,
!) Действительно, если материальная система имеет плоскость симметрии х = 0, то точки системы попарно имеют равные по величине и противоположные по знаку первые координаты и одинаковые две другие, так что два
произведения инерции S TTttXiyi, S TTliXiZi будут равны нулю.
і І
31 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
482
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
предназначенного для выбрасывания снаряда и неизменно скрепленного с горизонтальной осью подвеса так, что ось канала ствола орудия, которую мы далее будем называть осью орудия, ортогональна к плоскости, проходящей через ось подвеса и центр тяжести G системы. В момент выстрела маятник, под действием реактивного импульса, которому он подвергается, выходит из положения равновесия и начинает качаться. Мы покажем здесь, как можно получить неизвестную начальную скорость снаряда по наибольшей амплитуде этого качания, измеряемой непосредственно, если известны полная масса Ot1 маятника вместе с орудием, но без снаряда, его момент инерции А относительно оси подвеса, масса т снаряда и, наконец, расстояния г и а оси подвеса соответственно от центра тяжести G системы и от оси орудия.
