Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Понятие об ударе с трением
21. Удар неизменяемой плоской фигуры о неподвижноє препятствие. В предыдущем пункте мы пренебрегали трением, допуская, что в точке, в которой соударяются два тела, они испытывают два прямо противоположных импульса, по общей нормали к двум поверхностям, направленной для каждого из них внутрь. Задача усложняется, если мы хотим учесть трение скольжения и качения, причем это последнее схематически представляет тот физический факт, что соприкосновение происходит не в геометрической точке, а по некоторой конечной площадке.
He входя здесь в рассмотрение вопроса в общем виде, мы» исследуем только тот случай, когда, отвлекаясь от трения качения, можно довольно простым способом учесть трение скольжения. Это можно сделать в случае двух плоских неизменяемых фигур, движущихся в своей плоскости. Мы рассмотрим, однако, более частный случай — удар плоского неизменямого профиля S о неподвижную преграду представленную схематически в виде некоторой кривой в плоскости; эту кривую в рамках нашего исследования всегда можно заменить ее касательной в точке, в которой происходит удар. Случай двух фигур, движущихся в их плоскости, можно было бы рассмотреть аналогичным образом. Заметим, что обстоятельства, установленные нами выше, осуществляются при ударе биллиардного шара о борт, если предположить, что вращение шара происходит исключительно вокруг вертикали.
Обозначим через P (фиг. 34) точку, в которой в момент удара происходит соприкосновение между профилем 5 и препятствием, и возьмем систему неподвижных осей с началом в Р, с осью у, направленной вдоль общей нормали к профилю и к преграде и обращенной в сторону S, и с осью х. направленной вдоль преграды и обращенной в ту сторону, где лежит центр тяжести G профиля S (или произвольно, если центр тяжести лежит на оси у). Из этих соглашений следует, что если X0, у0 обозначают координаты точки G, то имеем xO^ .Уо ^ 0’
§ 4. ПОНЯТИЕ ОБ УДАРЕ С ТРЕНИЕМ
493
С другой стороны, необходимо принять во внимание, что импульс /, который в момент удара возникает в Р, действует в ту сторону от оси Px, где лежит S, так что, если XY суть соответствующие ¦составляющие, хо необходимо имеем Y > 0. Кроме того, этот импульс, по определению, равен
«о+-
/ = Iim Г Ф dt,
т-»0 J
где Ф в любой момент очень короткого промежутка времени X представляет собой реакцию, которая согласно законам трения скольжения
всегда принадлежит углу gtg2 величины 2<р с биссектрисой Oy, если tp есть соответствующий угол трения. Отсюда мы видим, что то же самое произойдет и с только что написанным интегралом и, следовательно, в пределе и с самим импуяьсом /.
Заметив это, обратимся к основным уравнениям движения под действием мгновенных сил в плоском случае (п. 10), учитывая, что результирующая импульсов R сводится к / и что, так как
M = GPXA будем иметь Мг=у0Х — хо Y.
Поэтому уравнения п. 10, если через w,v обозначим проекции скорости центра тяжести V0, а вместо С напишем /я82, где 8 есть центральный радиус инерции фигуры S, принимают вид
4“ = 1* 4^ = Tr- -Sf,<y<.x~^n (37)
В эти выражения для изменений, испытываемых при ударе тремя характеристическими величинами и, v, Ь, входят две неизвестные проекции X, Y реактивного импульса, а потому, чтобы сделать задачу определенной, необходимо ввести еще два условия. Заметим теперь же, что к одному из них мы придем, допуская применимость также я в этом случае эмпирического закона Ньютона, а другое будет получено из исследования влияния трения.
Заметим сначала, что точка профиля, которая в момент f0 находится в Р, как неизменно связанная с S, имеет скорость
®о+юХ OP1
494
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
а проекции OHv этой скорости на оси Ox, Oy, ввиду того что
Касательная составляющая определяет скольжение профиля S по препятствию. Что же касается нормальной составляющей v, то надо заметить, что при сближении до удара и удалении тотчас же после удара (если исключить случай совершенно неупругих тел) значение этой составляющей до удара (v-) существенно отрицательно, а значение ее после удара (v+) существенно положительно. Как уже было указано, мы допустим здесь еще раз применимость закона Ньютона
где е обозначает коэффициент восстановления сталкивающихся тел.
Чтобы с выгодой использовать равенство (39), заметим, что из равенств (38) на основании уравнений (37) непосредственно следуют два уравнения:
и исключить из второго V+ при помощи равенства (39), то они преобразуются в следующие:
Важно отметить, что постоянные а, д, с, введенные таким образом в качестве структурных данных профиля S, все три положительны: первые две по существу, а третья в силу наших допущений (так как с = О только тогда, когда G лежит на Oy); кроме того, имеем
Уравнение (42), левая часть которого так же, как а и с, является известной постоянной, дает в более удобной для нашей цели форме одно из искомых уравнений, связывающих вспомогательные неизвестные X, Y.
Уравнение (41), наоборот, вместе с неизвестными X, Y, содержит еще неизвестную о + ; для того чтобы довести задачу до конца, мы
